Математика для социологов и экономистов - Ахтямов А.М.
ISBN 5-9221-0460-8
Скачать (прямая ссылка):
точки ж = 1, то вертикальной асимптотой может оказаться только прямая х = 1. Проверим, является ли прямая х = 1 асимптотой. Для этого вычислим соответствующие пределы:
lim —= (= —оо, lim —^— = ( —^- ) = +оо.
жч1-о ж - 1 \-0/ ж->1+о х - 1 V+Oy
Следовательно, кривая имеет вертикальную асимптоту х = 1.
2) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты (если они есть). Для этого вычислим соответствующие пределы:
I 1- f(x) 1- х 1- 1 ( 1 ^ гл А;„ = 11 г г 1 -= 11 г г 1 —--— = 11 г г 1-- = - = U:
ж->-+оо х х->+ос х [X — 1) ж->-+оо х — 1 \+ОС у
Ьи = lim (fix) — ки х) = lim —-— = lim -——— =
ж->-+оо ж->-+оо х — 1 ж->-+оо Ж — 1
= lim + —L-Л = 1;
ж->-+оо \ х — 1 У
&л = lim = lim -jA— = lim -J- = f—) = 0;
ж——оо X ж——ОО х уХ — 1) ж—^ —ОО X — 1 \— ОО У
6Л = lim (/(ж) — кл х) = lim —-— = lim -——— =
x-t — oo ж——оо х — 1 ж——оо х — 1
= lim (1 + -Ц-) =1,
ж->—оо \ x — 1 У
т. е. у = 1 (у = 0 • ж + 1) — двусторонняя горизонтальная асимптота. Других асимптот нет.
б) 1) Функция определена при всех действительных ж, кроме ж = 1. Проверим, является ли прямая ж = 1 вертикальной асимптотой. Найдем пределы:
х2 ( 1 \ ж /1
lim-- = —— = —оо, lim-- = —— = +оо.
ж-и-о х - 1 \-0у жч1+о ж - 1 \+0/
Следовательно, имеется единственная вертикальная асимптота ж = 1.
2) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты (если они есть). Для этого вычислим соответствующие пределы:
ки = lim Li^l — lim ——— = Гни -—— = 1;
ж->-+оо ж ж->-+оо Ж (ж — 1) ж->-+оо 1 — 1/Ж
172
Гл. 9. Исследование функций
Ьи = lim (fix) — ku х) = lim ( , — 1 • х ) =
2 _ 2 i i ф 00 00 i 00 _|
x—>+oc x — 1
&л = lim
fix)
= lim
= lim
ж——ос ж
ж-)>-ос ж (х — 1) ж-)>-ос 1 — 1 /X
= 1;
6Л = lim (/(ж) - /глж) = lim
ж
1-х =
ж——ос V Ж — 1
2 _ 2 _| j ф X X i Ж .j
ж—)- — оо Ж — 1
Итак, ки = А;л = А; = 1 и 6И = Ьл = 6 = 1. следовательно, график функции имеет наклонную асимптоту у = ж + 1.
в) 1) Функция у =
имеет смысл при всех х Е
лД2 + 1
поэтому ее график не имеет вертикальных асимптот. 2) Найдем наклонные и горизонтальные асимптоты:
ки = lim ^—^ = lim
= lim
ж—>-+оо ж ж—>-+оо х у/х2 _|_ 1 ж—>-+оо у/^2 _|_ ^
= 0;
1)и = lim (/(ж) — кп х) = lim — 0 • ж =
ж->-+оо ж->-+оо \ л/ж2 _|_ ^ /
&*л = lim
№
ж——оо X
= lim —.
ж^+оо у/1 + l/x
= 1;
lim ¦ _
ж^-оо х ^/х2 + i
= 0;
Ьп = lim (/(ж) — &*п ж) = lim
-°° V лЛ2 + 1 Замена ж = — z
-0-х =
= lim
= lim
"ОО д/^2 + I Z^-OO д/1 + 1/^2
= -1.
Таким образом, при х —> +оо асимптотой служит прямая у = 1 (правосторонняя горизонтальные асимптота), а при ж —> —оо —
9.7. Исследование функции
173
прямая у = — 1 (левосторонняя асимптота). А
V Пример 2. Найти асимптоты кривой у = х3 — Зж. Решение.
1) Вертикальных асимптот график этой функции не имеет, так как функция у = ж3 — 3 х не имеет разрывов.
f(x)
2) Найдем пределы lim -:
ж->-±оо X
lim Li^l — lim--— = lim (х2 — 3) = +оо.
ж—>-±оо х ж—>-±оо х ж—>-±оо
Таким образом, &л = ки = оо. Следовательно, график функции не имеет также наклонных асимптот и горизонтальных асимптот (если бы горизонтальная асимптота существовала имели бы к = 0).
Итак, график функции не имеет асимптот ни вертикальных, ни наклонных, ни горизонтальных. А
Задача. Найти асимптоты графиков функций у = х2, у = = х2/(1 + х2) и у = х/(1 + х2).
Ответ: График функции у = х2 не имеет асимптот. Графики функций у = х21(1 + х2) и у = х/(1 + х2) имеют двусторонние горизонтальные асимптоты, которые изображены на рис. 9.21. (Асимптотой графика функции у = х2/(1 + х2) является прямая у = 1, а асимптотой графика функции у = х/(1 + х2) является ось абсцисс.)
9.7. Исследование функции
График функции, заданной формулой у = /(ж), строится по точкам, которые затем соединяются плавной линией. Но если брать точки, как попало, то можно допустить грубую ошибку, пропустив какие-то важные особенности графика.
Чтобы построить график с помощью небольшого числа точек, полезно предварительно выяснить его характерные особенности.
Для этого следует прежде всего найти область определения. Это позволит не подставлять в формулу у = f(x) значения аргумента, в которых функция заведомо не определена.
Целесообразно также исследовать функцию на периодичность, поскольку для периодической функции исследование ее
174
Гл. 9. Исследование функций
свойств достаточно провести на промежутке длины Т, составляющей ее основной период. Важно знание свойства четности функции. Так как график четной функции симметричен относительно оси Оу, а график нечетной — относительно начала координат, то для четных и нечетных функций можно ограничиться исследованием их свойств лишь при х ^ 0.
Далее, полезно найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции. Если, скажем, на интервале (а, Ь) функция принимает только положительные значения, то на этом интервале ее график лежит выше оси Ох.
