О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
244 а отсюда следует тождество Hurwitz'a
(83)
Mi-- ¦Ьп bnW • . b-2n-i 1 1 0 . .0 0 0...0
0 bo.. bn-i b„ ¦ • tin 0 1 . .0 0 U...0
0 0 .
0 0.. .bo bt ¦-bnv1 0 0 . ..1 0 0...0
O0 ol - . Mn Cln і l • • • Clin +1 S() Sj . .Sn S/.+1 • . -S2n+1
0 a0. .an. -Xdn . • .Clin 0 S0- .S„- -1 Sn • . . Sin
0 0.. . a0 U1 • • Я/1+i 0 0 - ..S0 «1 • • .Sntl
-В,
где матрица
В
К ьх.. о V-
• Ьїп+І . fan
О О ... bo .
Приравнивая детерминанты левой и правой части в (83) и пользуясь (82), мы получаем, что
(84)
Чо =
b0 bx. • • bi„+i
«0 at. .. flSn + l
0 V • • bin
0 O0- . . Ctin
. • • • •
(л = 0, 1, 2,...).
Эти равенства выведены в предположении, что Ь0фО; из соображений непрерывности следует, что они остаются верными и при b0 = 0.
Из (81) следует, что во всех предложениях предыдущего параграфа мы могли бы форму S заменить безутиантой В (g, А; S0, S1,...)- Таким образом, теоремы 10 и 11 эквивалентны следующим:
Теорема -10'
Пусть
f (z) = g(z)-~ih(z) (Г(0)ф0)
некоторая целая функция. Для того, чтобы эта функция допускала представление
f(z) = e*E(z)f\(*-ir)>
k^-i
245.
Л* где E(z) — целая вещественная функция, а г( (t=l, 2,...,/?)—точки, лежащие внутри верхней полуплоскости Qz > 0, необходимо и достаточно, чтобы б е-зутианта B(g, A; S0, ?!,.••) была неотрицательна и чтобы ее ранг равнялся рК
Теорема 11'
ПУСТЬ f (z) =g (Z)-Ih(Z) (/(О)ф0)
некоторая целая функция. Для того, чтобы эта функция допускала представление
(85) / (Z) = E(z)H(z),
где E(z) произвольная вещественная функция, а H(z) целая функция одного из т и п о в (Hp) (р=0, 1, 2,..оо), необходимо и достаточно, чтобы безутианта B(g, h; -о. Sp-.-) была положительна.
В теоремах 10 и 11 мы требовали, чтобы A(O)^fcO; здесь мы требуем, чтобы /(0)ф0. Это допустимо по следующим соображениям. Если /(O)^fcO, a A(O) = 0, то g(0):?0. Введем тогда в рассмотрение вместо функции / функцию if; при этом, так как if—h + ig, то роль прежних функций g(г) и h(z) будут играть функции h(z) и —g(z). Теперь можно будет составить форму S(h, — g-, Sn, S1,...), но оиа эквивалентна форме B(h, ~g¦ S0l Sll4 ..) = B(g, h- S0, S1,...).
Из представления (85) следует, что f(z) может иметь как вещественные корни, так и корни, лежащие в верхней и нижней полуплоскости. Однако, всякому корню f(z), лежащему в нижней полуплоскости, всегда отвечает комплексно сопряженный корень, лежащий в верхней полуплоскости и притом не меньшей кратности.
1 Заметим, что если f(z) полином степеня п, то в безутианте В (g, h; ?„, S1,...) переменные ... и т. д. не участвуют и она сводится к форме я-го
порядка
(*) . So, S1.....?„_!>
Если я число положительных, а ч число отрицательных квадратов этой формы, то f(z) имеет п—it — V корней общих с /(г) и, кроме того, еще я корней в верхней полуплоскости и V корней в нижней полуплоскости. Это показал еще Hermite, ограничиваясь тем случаем, когда п = п + v (форма несингулярна).
К Sylvester'y и Hermite'y также восходит следующее предложение: ,Для того, чтобы корни полиномов g (г) и h (г) были вещественны и перемежались, необходимо и достаточно, чтобы форма (*) была определенной" (по поводу приложений квадратичных форм в теории определения корней алгебраических уравнений см. брошюру М. Неймарка и автора [9]).
Заметим еще, что и в случае, когда g(г) и h (г) целые трансцендентные функции, сохранение знака безутианты В (g, ft; S0. ^w ¦) влечет за собой следующее обстоятельство: „Если отбросить общие нули у функций g (г) и Л (г), то остальные нули функций g(z) и Л (г) вещественны и перемежаются". Это легко обнаружить с помощью разложения (47).
246. Целыми функциями f{z) — g{z)— ih(z) нулевого рода занимался Fujiwara [266]; с помощью нестрогих рассуждений, исправить которые, повидимому, трудно, он пришел к ошибочному выводу, что у такой функции все корни лежат в верхней полуплоскости.
2. Еще в 1895 году Hurwitz доказал следующее предложение: „Для того, чтобы корни вещественного полинома
/(z) = C0-f cxz + ... + CnZn (с0> 0)
лежали все в левой полуплоскости Sftz < 0, необходимо и достаточно, чтобы я последовательных главных миноров матрицы
Ci C0 0 0 0 0
C3 C2 Ct Со 0 0
C5 C4 C3 С% Ct C0
были положительны".
Позже, приблизительно через 20 лет, Qrommer [27] показал, что, если
/(z) = с0 4- C1Z + C3Z2 +... целая функция нулевого рода и мы составим соответствующую ей бесконечную матрицу (86), то положительность всех последовательных главных миноров этой функции является необходимым и достаточным условием того, чтобы все корни /(г) лежали в левой полуплоскости SRz <0. Результат Grommer'a так же, как и результат Fujiwara, ошибочен; однако, закравшаяся в его рассуждения ошибка легко устранима.1
Мы располагаем всеми средствами, чтобы решить вопрос: какова исчерпывающая характеристика целых вещественных функций /(г) (любого конечного или бесконечного рода), которым отвечает матрица
(86) с положительными последовательными главными минорами.
Действительно, если положить
