О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Определив из соотношений (35) и (36) числа tu OT1 (/=1,2,...), мы можем представить функцию F(z) в виде (34), а следовательно, числа s't (/=0,1,2,...) в виде (33).
Теорема 3 эквивалентна, таким образом, следующей теореме:
Теорема 4
Для того, чтобы вещественный степенной ряд S0-M1S-M2Z2+
сходился в некоторой окрестности точки О и опре-Ахиевер и Крейн—65—15 225 t . .
делял мероморфную функцию F (z), допускающую представление
OO
(37) F(z) = m0 + У
і=і
где Xi (/=1,2,...) все вещественны,
т0> 0, sign =? sign Xi (і =1,2,...),
необходимо и достаточно, чтобы все детерминанты
Al = IvIo (и =-0,1, 2,...)
^5ыли положительны и чтобы
(38) Iimaf = 11ш&, = 0.
г—>¦ со J->-оо
Эту теорему любопытно сравнить с теоремой Grommer'a [27]. Теорема 5 (Grommer)
Для того, чтобы вещественная мероморфная функция F (z), регулярная в точке О и имеющая там разложение
Z7(Z) = S^SlZ-MaZ2+.-.,
допускала-представление (37), н е о б х о д и м о и достаточно, чтобы все детерминанты Dn = | s.+fc (и=0,1,...)
были положительны.
Таким образом, в теореме Grommer'a заранее требуется мероморфность функции F(z) в то время, кик в теореме 4 мероморфность является следствием условий (38) [конечно, при наличии условий: Dn > О (п = 1, 2, ...) ].
Вместе с тем, теорема Grommer'a не является непосредственным следствием теоремы 4, ибо пока что не установлен обратный факт, заключающийся в том, что при наличии условий: Dn> О (п = Q, 1,2...) мероморфность функции F (z) влечет за собой выполнение условий (38).
Докажем теорему Grommer'a независимо от теоремы 4. После всего того, что мы знаем, необходимость условий теоремы Grommer'a устанавливается тривиально. Следовательно, остается доказать, что мероморфная функция F (z) при выполнении условий: Dn> О («= 1, 2, .,.) допускает представление (37). Но при выполнении этих условий имеют место равенства
OO
(39) = JЄ da (t) (?=0, 1, 2. ...),
- OO
ґде о (?) — некоторая неубывающая функция. 226 Покажем, что при любой е>04
OO р
(40) / da(t) = J do(ty=0.
T+' - ' , '
Допустим противное, например, что при некотором • > О
OO
A=J da (t)> 0.
Но тогда
OO
S2* = J fda (t) > J Л/о (t) >(—+ '•)* А,
7-
P+1
і
а следовательно,
і-Hт^|5-|> йй lim 9T-J- + ..
Г A—oo " 1 k-xx V P yA->oo P
Мы пришли к противоречию.
Без ограничения общности мы можем считать, что
.-(T+0Mf) " °(-т-°)И-т)-
Тогда, в силу (40), равенства (39) можно будет переписать еще так:
Sft = /^rfo(Z) (А=0, 1,2, ...).
р
Отсюда
(41) F(Z)=J-;
do (t)
¦ te
_ і
р
при J г I < р, а значит, при всяком z вне интервала <—-~>м Из этого равенства вытекает, что функция F(Z) может иметь только вещественные полюсы вне интервала: <—~ >; обозначим их через Xv хг,... (хп—»оо).
> То, чю (39) следует из равенства Vp — Mm „ __ мы уже однажды до-
Y\Snl
казали (см. доказательство теоремы 11 главы 2 статьи I); ниже мы воспроизводим прежние рассуждения.
227. Положим
1
p - *
Очевидно, что единственными особенностями однозначной вещественной функции Ф(г) будут точки
^=-L (Ы 1,2,...) (^0).
А отсюда, как мы знаем (см. замечание 1 к теореме 8 главы 2 статьи I), единственными точками роста функции a(t) будут точки ti (i = 1,2,...) и, может быть, точка 0.
Определив, следовательно, с помощью равенств (32), (35) и (36) величины > 0, ^г и Xi (i = 1, 2,...), мы получим из представления (41) требуемое представление (37). Теорема Grommer'a доказана1.
Замечание 1
Из доказательства теоремы нетрудно усмотреть, что требование, чтобы функция F (z) была мероморфной, можно заменить * более слабым требованием, чтобы функция была однозначной аналитической функцией регулярной всюду на вещественной оси за исключением счетного множества точек, и это требование, как легко видеть, уже существенно.
Замечание 2
ч
Условие того, чтобы детерминанты Dn (re = 0, 1, ...) были положительны, эквивалентно тому, чтобы формы
п
(42) Ssi+ftSiSft (ге=0,1,2,...)
о
были положительны. Если отказаться от требования, чтобы в представлении (37) было бесчисленное множество слагаемых, т. е. от требования, чтобы F(Z) не была рациональной функцией, • то в теореме 5 придется заменить условие положительности детерминантов Dn(ti = 0, 1, 2,. ..), условием неотрицательности форм (42). Легко также видеть, что если формы (42; сингуляр-
i Новое сравнительно несложное доказательство теоремы 4 недавно указал Н. Н. Мейман [14]. Но это доказательство уже теряет силу, если в теореме Grommer'a вместо мероморфности функции F (г) потребовать, чтобы она принадлежала классу функций, указанному в замечании 1.
При более общих предположениях, но которые также охватываются, как весьма частный случай, нашим замечанием 1, теорему Grommer'a доказал Н. Г. Чеботарев [17], используя при этом большой аппарат.
Приведенное иами доказательство очень близко к доказательству самого Grommer'a; оно отвечает существу дела и, по нашему мнению, достаточно просто.
228 ,1
