О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
ны, начиная 'точно с п = р, то в представлении (37) среди величин
«о> Н> Pt,---
точно р величан отлично от нуля.
С помощью одного весьма нетривиального предложения Kronecker'a1 можно доказать, что последний случай имеет место тогда и только тогда, когда
А> О, D1 > 0, ... Dp-X > О Dp = Dp+1 = ....= 0.
^Гак как в дальнейшем нам удобней будет пользоваться не детерминантами, а формами, то мы сделаем следующее условие. Будем говорить, что бесконечная вещественная форма
OO
(43) 2 ай6Л . (?=?)
г, ft—о
положительна (неотрицательна), если все ее отрезки
(44) ? аи5Л (я = 0,1,2,...)
I, к=Л
положительны (неотрицательны). Кроме того, будем говорить, что форма (43) имеет ранг р, если при п > р формы (44) имеют ранг точно равный р.
Вместе с Grommer'ом [27] сделаем такие следствия из теоремы 5.
Теорема 6 (Grommer)
Пусть вещественная мероморфная функция F(z) регулярна в точке О и имеет там разложение
F (z) = S0 + S1Z+ ... .
Для того, чтобы функция F(z) допускала представление
(45) F(z) = A0 +A1Z+...+ApZp+
где полюсы Xi (/=1,2,...) — вещественные числа,
Ар> 0, sign rt = sign (/=1,2,...),
необходимо и достаточно, чтобы форма
OO
2 sp+i+k м*
i. a=o
была неотрицательна.
1 См. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionenlheorle, т. II, стр. 321, 1931 г.
229
іЕсли эта форма имеет конечный ранг, то в этом случае и только в этом случае F(z) является рациональной функцией.
Доказательство
Действительно, представление (45) равносильно тому, что
OO
VI'*! 1
Fp (z) = Sp + Sp+tZ + Sp+, Z2+ ... =; Ap + У -J ^—J,
SS ' ' *
в котором
Ap^O и sing-?- = sign ?=1,2,...).
xI ¦ - ¦ '
Следовательно, если приложить к мероморфной функции Fp (г) теорему 5 (с замечанием 2), то мы придем к теореме 6.
Теорема 7 (Qrommer)
Для того, чтобы вещественная целая трансцен-дентнаяфункция G (г) была с точностью до множи-
теля е~* (а > 0) р о д а < р и имела прир четном одни вещественные корни, а при р нечетном одни поло-жительныекорни, необходимо и достаточно, ч т о б,ы форма
OO і, *=0
в которой коэфициенты Sk определяются из разложении
~ " S°+S1 z + ">
была неотрицательна.
При этом G (z) имеет бесчисленное множество корней в том и только в том случае, когда форма положительна.
Доказательство
Действительно, из
* J- J. *
G (z) = + ™п (1 - *
следует, что
(46) -^-=^+20^+... + (p+l)ap^z" +
р
230.Если выполняются условия: ар+1^0, Xt (t= 1, 2,...) при р четном (нечетном) вещественны (соответственно положительны), то в этом случае и только в этом случае выражение (46) будет мероморфной функцией того типа, о котором идет речь в теореме 6. Откуда следует теорема 7.
Какова бы ни была целая функция Q (z) конечного рода, выбирая произвольно четное (нечетное) число р, не меньшее рода функции G (z), мы с помощью теоремы 7 можем всегда проверить вещественны ли (положительны ли) все корни функции.
Н. Г. Чеботарев решил более общий вопрос. Он указал простой и остроумный прием, дающий возможность определить, сколько вещественных или положительных корней находится среди т. первых по модулю корней целой функции G(z) независимо от'того, конечного или бесконечного рода эта функция (см. § 1, 2 его статьи [17]).
§ 5
Пусть g (z) и h (z) две целые функции с вещественными коэ-фициентами и пусть
fW = so-H,z+sazs+....
Как мы знаем из теоремы 6, разложение
где Xt ф 0 (? = 0,1,2,...) все вещественны, A0^O, Аг> 0 и rf > 0 (г=1, 2, ...), имеет место тогда и только тогда, когда форма
OO
(48) S(g, ft, Z0, Zv ...)=2 St+k Zt Z6
о
неотрицательна.
В настоящем параграфе мы изучим целые комплексные функции /(z) = g(z) — ih(z), порождающие функции F=gjh, для которых имеет место разложение (47). Для этого докажем сперва следующее предложение:
Теорема 8
• Для того, чтобы вещественная мер.оморфная функция F(s) регулярная в точйе O1 допускала раз-, л о ж е н и е (47), иначе говоря, для того, чтобы форма S была неотрицательна, необходимо и достаточно, чтобы функция F(z) принимала в верхней полуплоскости 3z>О значения, принадлежащие этой же полуплоскости'.
1 Если отбросить требование, чтобы функция F (г) была регулярной в точке О, то н тогда теорема сохранит свой смысл, если в разложении (47) не требовать, чтобы Xt ф О (/= 1,2,...).
» Этой теоремой пользовался также Н. Г. Чеботарен [17]. Как мы увидим, оца является весьма частным следствием теорем, установленных еще Nevanlinma, и другими (см. главу 2 статьи I).
232.Доказательство
Необходимость условия следует из того что если функция F (z) допускает разложение (47), то
Докажем достаточность условия. Считая условие выполненным, рассмотрим функцию F • Она вещественна на вещественной оси, регулярна вне некоторого отрезка <— R,R> и принимает в верхней полуплоскости значения, принадлежащие нижней полуплоскости. Следовательно (см. теорему 11, глава 2, статья I), она допускает представление
(49) F (4-) = /-?-+F(O),
-R
где a(t) (—/? «g t </?)—неубывающая функция. Отсюда