Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ахиезер Н. -> "О некоторых вопросах теории моментов" -> 61

О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.

Ахиезер Н., Крейн М. О некоторых вопросах теории моментов — Х.: АНТВУ, 1938. — 257 c.
Скачать (прямая ссылка): onekotorihvoprosahteoriimomentov1938.djvu
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 69 >> Следующая


ны, начиная 'точно с п = р, то в представлении (37) среди величин

«о> Н> Pt,---

точно р величан отлично от нуля.

С помощью одного весьма нетривиального предложения Kronecker'a1 можно доказать, что последний случай имеет место тогда и только тогда, когда

А> О, D1 > 0, ... Dp-X > О Dp = Dp+1 = ....= 0.

^Гак как в дальнейшем нам удобней будет пользоваться не детерминантами, а формами, то мы сделаем следующее условие. Будем говорить, что бесконечная вещественная форма

OO

(43) 2 ай6Л . (?=?)

г, ft—о

положительна (неотрицательна), если все ее отрезки

(44) ? аи5Л (я = 0,1,2,...)

I, к=Л

положительны (неотрицательны). Кроме того, будем говорить, что форма (43) имеет ранг р, если при п > р формы (44) имеют ранг точно равный р.

Вместе с Grommer'ом [27] сделаем такие следствия из теоремы 5.

Теорема 6 (Grommer)

Пусть вещественная мероморфная функция F(z) регулярна в точке О и имеет там разложение

F (z) = S0 + S1Z+ ... .

Для того, чтобы функция F(z) допускала представление

(45) F(z) = A0 +A1Z+...+ApZp+

где полюсы Xi (/=1,2,...) — вещественные числа,

Ар> 0, sign rt = sign (/=1,2,...),

необходимо и достаточно, чтобы форма

OO

2 sp+i+k м*

i. a=o

была неотрицательна.

1 См. Bieberbach, Lehrbuch der Funktionenlheorle, т. II, стр. 321, 1931 г.

229

і Если эта форма имеет конечный ранг, то в этом случае и только в этом случае F(z) является рациональной функцией.

Доказательство

Действительно, представление (45) равносильно тому, что

OO

VI'*! 1

Fp (z) = Sp + Sp+tZ + Sp+, Z2+ ... =; Ap + У -J ^—J,

SS ' ' *

в котором

Ap^O и sing-?- = sign ?=1,2,...).

xI ¦ - ¦ '

Следовательно, если приложить к мероморфной функции Fp (г) теорему 5 (с замечанием 2), то мы придем к теореме 6.

Теорема 7 (Qrommer)

Для того, чтобы вещественная целая трансцен-дентнаяфункция G (г) была с точностью до множи-

теля е~* (а > 0) р о д а < р и имела прир четном одни вещественные корни, а при р нечетном одни поло-жительныекорни, необходимо и достаточно, ч т о б,ы форма

OO і, *=0

в которой коэфициенты Sk определяются из разложении

~ " S°+S1 z + ">

была неотрицательна.

При этом G (z) имеет бесчисленное множество корней в том и только в том случае, когда форма положительна.

Доказательство

Действительно, из

* J- J. *

G (z) = + ™п (1 - *

следует, что

(46) -^-=^+20^+... + (p+l)ap^z" +

р



230. Если выполняются условия: ар+1^0, Xt (t= 1, 2,...) при р четном (нечетном) вещественны (соответственно положительны), то в этом случае и только в этом случае выражение (46) будет мероморфной функцией того типа, о котором идет речь в теореме 6. Откуда следует теорема 7.

Какова бы ни была целая функция Q (z) конечного рода, выбирая произвольно четное (нечетное) число р, не меньшее рода функции G (z), мы с помощью теоремы 7 можем всегда проверить вещественны ли (положительны ли) все корни функции.

Н. Г. Чеботарев решил более общий вопрос. Он указал простой и остроумный прием, дающий возможность определить, сколько вещественных или положительных корней находится среди т. первых по модулю корней целой функции G(z) независимо от'того, конечного или бесконечного рода эта функция (см. § 1, 2 его статьи [17]).

§ 5

Пусть g (z) и h (z) две целые функции с вещественными коэ-фициентами и пусть

fW = so-H,z+sazs+....

Как мы знаем из теоремы 6, разложение

где Xt ф 0 (? = 0,1,2,...) все вещественны, A0^O, Аг> 0 и rf > 0 (г=1, 2, ...), имеет место тогда и только тогда, когда форма

OO

(48) S(g, ft, Z0, Zv ...)=2 St+k Zt Z6

о

неотрицательна.

В настоящем параграфе мы изучим целые комплексные функции /(z) = g(z) — ih(z), порождающие функции F=gjh, для которых имеет место разложение (47). Для этого докажем сперва следующее предложение:

Теорема 8

• Для того, чтобы вещественная мер.оморфная функция F(s) регулярная в точйе O1 допускала раз-, л о ж е н и е (47), иначе говоря, для того, чтобы форма S была неотрицательна, необходимо и достаточно, чтобы функция F(z) принимала в верхней полуплоскости 3z>О значения, принадлежащие этой же полуплоскости'.

1 Если отбросить требование, чтобы функция F (г) была регулярной в точке О, то н тогда теорема сохранит свой смысл, если в разложении (47) не требовать, чтобы Xt ф О (/= 1,2,...).

» Этой теоремой пользовался также Н. Г. Чеботарен [17]. Как мы увидим, оца является весьма частным следствием теорем, установленных еще Nevanlinma, и другими (см. главу 2 статьи I).

232. Доказательство

Необходимость условия следует из того что если функция F (z) допускает разложение (47), то

Докажем достаточность условия. Считая условие выполненным, рассмотрим функцию F • Она вещественна на вещественной оси, регулярна вне некоторого отрезка <— R,R> и принимает в верхней полуплоскости значения, принадлежащие нижней полуплоскости. Следовательно (см. теорему 11, глава 2, статья I), она допускает представление

(49) F (4-) = /-?-+F(O),

-R

где a(t) (—/? «g t </?)—неубывающая функция. Отсюда
Предыдущая << 1 .. 55 56 57 58 59 60 < 61 > 62 63 64 65 66 67 .. 69 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed