О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
OO
сходится РЯД ^ Щ—У~)' Факты в дальнейшем нам не понадобятся. _ * Обращаем внимание читателя на то, что здесь мы требуем, чтобы а > О,
« Hc CL ^ Q г v
240.
(/ = 1, 2,. .р—1).
Наконец, мы будем говорить, что целая функция принадлежит типу (Яоо), если она бесконечного рода и допускает представление
(75) H(z)*=e-l(az+b) Q(z),
где а > 0, bSgO, a Q (г)—некоторая целая функция, определяемая формулой (71).
После леммы 4 нетрудно видеть, что если функция H (г) принадлежит одному из типов (Нр)(р = 0, 1,2,..,со), то
i_-L
Н(г) -—»(«4 Ж 1— 2*
(76) ^iiI —
где написанное произведение содержит конечное число сомножителей, если номер типа р = 0, и бесконечное — в противном случае.
Теперь мы без всякого труда можем ответить на поставленный ранее вопрос, относительно полной характеристики целых функций, которым отвечают неотрицательные формы 5. Ответ сформулируем в виде следующей теоремы
Іеорема 11
Пусть
f(z)=g(z)-th(z) (h (0) ф 0)
некоторая целая функция. Для того, чтобы эта функция допускала представление
(77) f(z) = E(z)H(z),
где E(z) — произвольная вещественная функция, а Я (г)—целая функция одного из типов tfp(p=0,1,2,.., оо), необходимо и достаточно, чтобы форма
OO
S(g, A;So,S1...)= ^М*
о
была положительна.
Ахиеэер и Крейн—65—16 241
Доказательство
Пусть f(z) допускает представление (77). Тогда в силу (76)
^ /<*) 1 1 і
г
гъ
где а> О, 6?О и S^ft > О (?==1, 2, . . .); а следовательно, |Ф(г)|<1 при Qz > 0. Отсюда мероморфная функция
gQ?)__1 ?+ 1 _
Л (г) ~ і Ф-1 +
принимает в верхней полуплоскости значения, принадлежащие той же полуплоскости, и, следовательно, форма S неотрицательна. Более того, эта форма положительна, ибо в противном случае функция f(z) допускала бы представление (51), несовместимое с представлением (77).
Пусть теперь, обратно, форма S положительна. Тогда по теореме 8 мероморфная функция F=g/h удовлетворяет условию: QF(z)>0 или <0 в зависимости от того, $г>0 или <0. Следовательно, мероморфная функция
Фф- Ш- = f^-'1
f(z) F (г) + І
удовлетворяет условиям леммы 2 и, таким образом, допускает представление (55). Исходя из этого представления, построим по одной из формул (73), (74) или (75) функцию H(Z) одного из типов (Hp) (р = 0, 1,...,оо) так, чтобы
(78) _с-'(«+*)П Zk — Hz)
H (г) 1 1 !„4. /(г)'
Ч
Очевидно, что всякий нуль H(z) является нулем f(z) и притом не меньшей кратности; следовательно,
F(Z)= т '
H (г,
есть целая функция. Кроме того, в силу (78) E(z) = E(z), т. е. E(z)— вещественная функция. Теорема доказана.
§ б
Как мы покажем в этом параграфе, формы S (g, A; S0, S1,...) эквивалентны некоторым другим формам B(g, h; S0, ?,,...), ма" трица коэфициентов которых вместе со своими минорами вычисляется сравнительно просто. Последние формы еще удобны
242. тем, что они имеют смысл для всяких степенных рядов g(z) и A(z) без ограничения A(O)^tO. Они нам также позволят подробней изучить целые функции, являющиеся аналогами полиномов Hurwltz'a, т. е полиномов, у которых все корни лежат в левой полуплоскости. 1. Пусть
?(z) = a0 + a,z-f ... и A(z) =/?» + Ьгг+ ...
два степенных ряда (сходящихся или расходящихся). Составим „производящую функцию"
?fe A) = g^)h(u)—gju)h(z) = ^ flpgzV)
Pt «= о
где левая часть есть формальное разложение по степеням z и
и правой части. Если положить
і
(k, I) = akbi — a/ bt,, то, как легко видеть,
ард = адр=(р+ 1, ?) + (/, + 2, 7 — 1)+...+(/>+0+1, 0) (/>>?).
Безутиантой рядов g (z) и A (z) будем называть бесконечную форму
OO
Big, A; S0, п, •••) = ?
Л ?=0
Кроме того, введем обозначение
я— і
A; S0,. . .,Se-O = S ""Vto (я = 1,2,...).
p. ?=0
Очевидно, что
-Sfe, A; SejS1,...) ---Bi-g,h;t0, -AjS0lS1,...)=
= -?(A, g; Ї,, J1,...).
Пусть теперь
^(z) = tp(z)g-(z) и A1(Z) = ? (Z) A(z),
где
<f> (2) = Ce + C1Z+... (Ce=^O)
произвольный степенный ряд. Мы утверждаем, что я (Sr1, A1; S01 4„..., Sn) = A; Tle, Til,... Tin),
где
(79) KJi = C0 ^ + C1Sm+... +c«~iSn (г = 0, 1,...,«).
243 Действительно, ;
в(&, A1) = <? (Z) , (U) lJ^Su)-^)giu) = ? (г)f [и) в{gt ^
оэ
= S (сог' + C1Zi+1+...) (C0Uk I-C1U1"1+...), i, ft=bO
а следовательно,
л
і j A«s=o
- -- + ^?)-
Заметим, что детерминант преобразования (79) равен ^O. Предполагая, b0 = h(0) ф0, положим
= TO" = • •' (c^ ^0)'
тогда A1(Z) E 1, а
(80) gx(z) = -^r = s, + slz + s,zi+,.. и, следовательно,
OO
B(gu A1) = = ^ ^ .
I, ft=0
Припоминая определение (48) формы 5, мы приходим, таким образом, к тождеству 1
(81) S(g, A; S0, S1,.. .Д„) = B(g, h; т)0, nj,,.. .,?) (« = 0,1,...),
где fy и ?( связаны несингулярными преобразованиями (79). Отсюда, в частности,
/оо\ 1 ]" —2л—г і in . їя і г і |я
(82) I Но = Со I І» ~ I 5ifft+1 к
Согласно формальным правилам деления, из (80) вытекает, что «й ^bkS0 + bk-1S1 + • • • + busk (6 = 0, 1,...),
1 Левая часть этого тождества обозначает сответствующнй отрезок бесконечной формы S(g, Л; S1,...).
