О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
gl(Z) = C0 4- C2Z + C4Z2+... К(z) -C1 + C3Z + C5Z2+ . . .
то, согласно формулам (84), безутианта
(87) Bfc,, Ai; *„...)
положительна в том и только в том случае, когда все последовательные главные миноры четного порядка матрицы (86) положительны.
С другой стороны, безутианта
(88) В[Zh1, gl, S0, S1,...)
1 Qrommer выпустил из виду, что у функиий g и h(f= g—ih) могут быть общие нули.
247. положительна тогда и только тогда, когда все последовательные главные миноры четного порядка матрицы
C0 0 0 0 0 ...
сг Cx с0 0 0 ... С 4 C3 C2 Cl С неположительны. Но последние миноры отличаются от соответствующих нечетного на единицу меньшего порядка миноров матрицы (86) только лишь множителем C0 > 0.
Поэтому условие Hurwltz'a (положительности последовательных главных миноров матрицы (86)) эквивалентно тому условию, что обе безутианты (87) и (88) положительны. А последнее, как мы сейчас покажем, равносильно тому, что безутианта
(89) B(g, A; S0, S1,...) полиномов
(90) g (z) = gl (- Zt), А (г) = - Zh1 (- г»)
положительна.
Действительно, из (90) следует, что
L g W Ни)-g (а) Л (Z) _ а (- г») H1 (- а») - gl (- g») ft, (- г») 2 z — u ~u u*—z*
I #gi (- г2)ftt (- и2) - ^g1 (- а8) - г*)
~т U2 — Z2
Отсюда, заменяя в этих производящих функциях каждую степень Zft и Uk через Sft (к = 0, 1,...), мы найдем, что
\B(g, A; S0, i1,...)^B(gb A1; Si, -S3, S5,...) +
+ В(гкъ g,; S0, -S2, S4,...).
Так как слагаемые правой части содержат различные переменные, то положительность форм (87) и (88) влечет за собой положительность формы (89), так же как и обратно. С другой стороны, из (90) следует, что
f(iz)=g(z)-ih(z).
Таким образом, если вещественная функция f(z) удоблетво-ряет условиям Hurwitz'а, то функции f(iz) отвечает положительная безутианта (89) и обратно. Следовательно, мы можем воспользоваться теоремой 11.
Однако, нам удобнее будет прибегнуть не непосредственно к теореме 11, а к некоторым соображениям, использованным при ее доказательстве. Именно, в силу этих соображений,
248 форма (89) положительна тогда и только тогда, когда имеет место разложение 1
z
(91)
і —
где а > 0, а корни Zk (k — 1, 2,...) удовлетворяют условиям (56) и (57) леммы 2, при этом, если точек Zk конечное чийло, то а > 0.
Заменяя в разложении (19) z на — iz, Zk на —Uk , мы найдем, что
г
-IlfL =- e~iazY\
і —-
/<—> i + JL
Так как f(z) — вещественная функция, то множество точек {ak} совпадает с множеством точек (?}. Заметив это, построим целую функцию Q(Z) по следующему правилу.
1°. Если точек ч (к = 1, 2,...) конечное число т, то положим
пКЖГ
(92) G (Z) =
2°. Если точек &ь (к = 1, 2,...) бесконечное число и последовательность {OLk }Г имеет конечный показатель сходимости, то положим
(93) OW-.-{n (1-^)(1 -^f {J?) J .
где q наименьшее целое число такое, что ряд
OO
It^
Vq+1
сходится.
3°. Если, наконец, точек а* (к = 1, 2,...) бесконечное число и последовательность {а*}ї° не имеет конечного показателя сходимости, то мы положим
(95) G(Z) (l-f-) (l-f)e V k) V W J-
1 Мы написали е~аоі2. вместо е~~'ii^z+6), ибо Ф(O)=I н, следовательно ,Ь=0-
24» Для того, чтобы убедиться, что произведения (93) и (95) в соответствующих случаях сходятся, следует заметить, что
OO •
т—1
и что, согласно лемме 2, ряды
OO OO
\ k / Vft /
а также при любом Комплексном z двойной ряд
OO
P (г) = SCm2^+1
т=1
абсолютно сходятся.
Легко видеть, что построенная целая функция 0(z) обладает тем свойством, что
і ——
.0JfL - ,- Hl_—
' G(-*)~ * IIj-
Ч
а также свойством, что каждый нуль функции G(z) является нулем функции f(z). Следовательно, f/Q — целая и притом четная функция. Поэтому имеет место равенство
/(Z) = E(Zi)G(Z),
где E(z) — некоторая вещественная целая функция.
Чтобы более четко сформулировать полученный результат, введем понятие о типах (&р)(р = 0, 1,2,..,оо).
Будем говорить, что целая вещественная функция G (z) принадлежит типу (®0), если она допускает представление (92), в котором
а > О, Шк < О (к = 1, 2,...,т);
типу ((5,)(0= 1,2,...), если она допускает представление (93), в котором
OO
96) а>0, SRaft < О (?= 1,2,...) и ^ »
k= 1
^""Наименьшее целое число такое, что ряд (94) сходится, и типу V®«), если она допускает представление (95), в котором выполняются условия (96), но уже ряд (94) расходится при любом q. 250 Теорема 12
Для того, чтобы целая вещественная функция
/(Z) = C0 +C1Z+... (с0> 0)
допускала представление
/(Z) = E(z*)G (z),
где G(z) — целая функция одного из типов (®q)(q = = 0, 1, 2...), a E(z)—п роизвольная вещественная целая функция, необходимо и достаточно, чтобы функция /(z) у д о в л е т в о р я л а у с л о в и я м H u г w і t z'a, т. е. чтобы последовательные главные миноры матрицы
ClCuO ООО... C3CiC1C0 0 0...
были положительны.
Значительно более простую форму принимает теорема, если ограничиться рассмотрением только лишь функций не выше первого рода. Сформулируем это в виде следствия теоремы 12.
