О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
R
Sft+i= fi*d°(t) (к = 0, 1,...
-R
и поэтому форма (48) неотрицательна. Теорема доказана.
Заметим, что разложение (47; мы могли бы получить из представления (49) непосредственно [не прибегая к форме (48)], рассуждая аналогично тому, как при доказательстве теоремы 5.
Докажем теперь предложение, которое в дальнейшем будет значительно обобщено:
Теорема 9
ПУСТЬ f{z)=g(z)-ih(z) (h(0)ф0)
полином ил и ц е л а я т р а н с це н д е н т н а я фу н к ци я нулевого рода, причем вещественные функции g(s) и h(z) не имеют общих нулей.
Для того, чтобы все нули функции/(2) располагались внутри верх-ней полуплоскости $Z> 0, необходимо и достаточно, чтобы форма
OO
S (g, h; S0, S1, ...) = S Si+k+i Si Sft
о
была не отрицательна.
Если форма S1 положительна, то функция /(г) имеет бесчисленное множество нулей, лежащих
1 В дальнейшем мы заменим форму S другой формой, после чего можно будет освободиться от ограничения А (0) ф 0.
232. ¦р
внутри верхней полуплоскости; если же неотрг цате^ьная форма S имеет конечный ранг р, то функция /(Z) имеет внутри верхней полуплоскости точно р нулей, считая с их кратностями.
Доказательство
Действительно, пусть
где
Тогда
и так как
я*)по-,7)
Szft >0
Ф(е) = fJz) = - П -~2
(?=1, 2,...).
/М
Zb-Z
< 1 при
Zk
За;
»0,
то
|Ф(г)|«?1 при Sz >0. Принимая во внимание, что функция
W- =
преобразует единичный круг | $ | < 1 в верхнюю полуплоскость,
мы заключаем, что функция
- ?(*> ф + 1
h (г ) і Ф — 1
принимает в верхней полуплоскости значения, принадлежащие этой ж^ полуплоскости. Откуда по теореме 8 форма S неотрицательна.
Пусть, обратно, форма 5 неотрицательна; тогда согласно теореме 8 функция F(s) = g\h принимает в нижней полуплоскости значения, принадлежащие той же полуплоскости, и, следовательно, корни уравнения
F(z) =
g(*) A(z)
(f{z) = g(z)-ih(z) = 0)
все лежат внутри верхней полуплоскости.
Остается выяснить вторую часть теоремы.
Если форма S положительна, то в разложении (47) фигурирует бесконечное множество слагаемых и, следовательно,/(г)— целая трансцендентная функция с бесконечным числом нулей.
Если же, наоборот, форма 5 сингулярна ранга р, то в равенствах 1
Sk+1 = At + 2 п (^y+2 (k=0, 1,2,...)
233. из величин
(50) Ai > 0, г, > 0, гг > 0,...
только р отлично от нуля, следовательно, в силу (47), f(z) полином степени р. Теорема доказана.
Естественно возникает вопрос что можно сказать о целых функциях /(г), которым отвечают неотрицательные формы 5 и на которых никакие другие ограничения не наложены.
Нетрудно ответить на вопрос в том случае, когда форма S неотрицательна и конечного ранга; именно, имеет место
Теорема IQ
Пусть
f (Z)= g iz) - Lh(Z) (A (0) ф 0)
некоторая целая функция. Для того, чтобы эта функциядопус к ала представление
(51) f(z) = ^E(z){\{}-^),
/=і
где E(s) — целая вещественная функция, a Z1 (t = = 1, 2,.. .р) точки, лежащие внутри верхней полуплоскости Qz>0, необходимо и достаточно, чтобы форма
со
і S(g, A; S0, S1,...) = YiSii^k
о
была неотрицательна и имела ранг равный р. Доказательство
Пусть функция f(z) допускает представление (51). Положим
(52) Л (z) = gl (Z) - Ui1(Z) = е» П(1 -
л=і *
тогда, очевидно,
g (z) = E(Z)gl(Z) и Ii(Z) = E(Z)Hl(Z), а следовательно,
g(z) _ gl (z)
Применяя к функции (z) теорему (9), мы найдем, что форма S обладает требуемыми свойствами.
Пусть теперь, наоборот, форма 5 неотрицательна и имеет ранг =р. Тогда функция F(z) = g/h допускает разложение (47), в котором среди величин (50) только р отлично от нуля, и сле-
234. ¦V
довательно, это — вещественная рациональная функция, точная степень которой равна р. і
Пусть
(63) т-щ-Ш'
где ^f1(Z) и Ai (г) — полиномы степени < р (а один из них точно степени р). Так как функция F(z) принимает в открытой верхней (нижней) полуплоскости значения, принадлежащие той же полуплоскости, то корни полинома Z1 (z) = gt (г) — Ih1 (г) лежат внутри верхней полуплоскости. Следовательно, полином fx (z) допускает представление (52). С другой стороны, из (53) видно, что каждый корень функции gt (z) [функции A1 (z)] является корнем функции g(z) [соответственно h(z)\ и притом не меньшей кратности. Следовательно,
E(Z) = -M^L= ^r
Х ' gl (Z) A1 (г) есть целая вещественная функция. Откуда |и вытекает представление (51).
2. Для изучения произвольных целых функций, которым отвечают положительные формы 5, нам понадобится ряд лемм:
Лемма 1
Пусть О (г) целая вещественная функция, удовлетворяющая у с л о в ию
SG(Z) > 0 при Sz >0. Тогда G(z) = oz + где а> 0, Ьзг О.1 Доказательство
Действительно, по теореме 8 главы 2 статьи I функция G (z) допускает представление
G(z) = az + Ь + f l±^-do(t),
где fl>0, а a(t) (— оо<?<оо)—неубывающая функция.
Так как функция G(z) регулярна и вещественна на вещественной оси, то по сделанному замечанию к цитированной теореме 8 функция a(t) — const, чем лемма доказана.
Лемма 2
