О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Следствие 1
Для того, чтобы целая вещественная первого рода функция
/(*) = C0 + C1Z+...
допускала представление
= —[П(1- ІХ1-^'
где Siaft < 0 (k = 1, 2,...), а> 0 (знак = отпадает, если точек «ft конечное число), а ? (г)— произвольная вещественная целая функция (конечно, не выше первого рода), необходимо и достаточно, чтобы функция /(г) у до в л е т в о р я л а условиям Hurwitz'a.
Из того, что а>0, если корней ак конечное число, вытекает, что функция нулевого рода, удовлетворяющая условиям Hurwitz'a, имеет всегда бесчисленное множество нулей внутри левой полуплоскости.
Из теоремы 11, как мы видим, вовсе не следует, что корни целой вещественной функции f(z), удовлетворяющей условиям Hurwitz'a, лежат внутри левой полуплоскости. Однако, можно утверждать, что вместе с каждым корнем а, лежащим в правой полуплоскости Шг > 0, функция /(Z) имеет также корни — а, а, — а (ибо а2 и а2 в этом случае являются корнями функции E(z))-
251
не выше
(C0 > 0) Следовательно, если наперед известно, что у функции f(z) нет корней, отличающихся только лишь знаком, то в этом случае из условий Hurwitz'a действительно вытекает, что все корни функции f(z) лежат внутри левой полуплоскости.
В несколько более частном случае, когда среди корней функции /(г) нет равных по модулю и несопряженных корней, интересные результаты по вопросу об определении того, сколько корней среди т первых по модулю корней функции/(г) лежит внутри левой полуплоскости, были получены Н. Г. Чеботаревым в его неоднократно цитировавшейся работе.
Заметим еще, что наши методы позволяют дать исчерпывающую характеристику мероморфным функциям f{Z), удовлетворяющим условиям Hurwitz'a. Но вряд ли это представляет интерес и мы этого приводить не будем.
Литература1
1. Ахиезер Н. а Крейн М.
a) Uber Fouriersche Reihen beschrankter summierbarer Funktionen und ein neues Extremumprobiem, I Teil (Сообщ. Харьков. Мат. Общ., 4, IX).
b) Ober Fouriersche Reihenbeschrankter summierbarer Funktionen und ein neues Extremumprobiem, II Teil (там же, X).
c) Ober eine Transformation der reellen ToeplItzschen Formen und das Momentenproblem in einem endlichen Intervalle (там же, XI).
d) Das Momentenprobien bei der zusatzlichen Bedingung von A. Markoff (там же XII).
e) Bemerkung zur Arbelt «Uber Fouriersche Reihen beschrankter summierbarer Funktionen .. • (там же, XII).
f) Проблема моментів на двох інтервалах при додатковій умові А. А. Маркова (там же, XIV).
g) Some remarks about M. S. Verblunsky's papers „Solution of a moment problem for bounded functions" and „On the Fourier constants of a bounded functions" (гам же, печатается).
h) О квадратурных формулах П- Чебышева и А. Маркова (сборник работ в честь акад. Д. А. Граве, печатается).
1) О двух minimum - проблемах, связанных с проблемой моментов (Доклады Академии Наук СССР, 1936, том 1 (X), № 9).
2. Ахиезер Н. ,
a) Про одну теорему S. Bochner'a (Сообщение Харьк. Мат. Общ, 4, XIV).
b) Вибрані питання теорії апроксимації функцій (ДНТВУ,- 1938).
3. Бернштейн С.
a) Sur une ргорп&ё des polynomes de Tchebycheff (Доклады Акад. Наук СССР, 1927).
b) Sur Ies fonctions absolument monotones (Acta mathematica, t. 52, 1928).
4. Геронимус Я• О некоторых экстремальных задачах. (Известия Академии Наук СССР, 1937. стр. 185- 202).
5. Гончаров В. Теория интерполирования и приближения функций (ОНТИ, 1934).
1 В силу ряда случайных обстоятельств в литературном указателе отсутствует статья G. Ріска (цитировавшаяся на стр. 147) и статья Л. Г. Шиирельмаиа (цитировавшаяся на стр. 185/
252. 1
6. Канторович JI.
К проблеме моментов для конечного интервала (Доклады Академии Наук СССР, т. XIV, 1937).
b) Lineare halbgeordnete Raume (Матем. Сборник, т. 2 (44):1, 1947).
¦ 7. Коркин А. а Золотарев Е. Sur uti certain minimum (Собрание сочинений Е. И. Золотарева, том 1).
8. Котелянскйй Д. Про деякі застосування квадратичних форм до проблеми NevanIinna-Plck (Жури. Jhct. Матем. Акад. Наук УРСР, № 1, 1937)
9. Крейн М. и Неймарк М. Метод симметрических и эрмитовых форм в теории отделения корней алгебраических уравнений (Харьков, 1936).
10. Крейн М. и Рехтман П. До проблеми Nevanllnna-Pick'a (Труды Одесского Гос. Университета, т. 2, 1938).
11. Крейн М.
a) О некоторых вопросах геометрии выпуклых ансамблей и т. д. (Доклады Академии Наук СССР, т. XIV, 1937).
b) Про позитиви! адитивні функціонали в ліиійиих нормованих просторах (Сообш. Харьк. Мат. Общ., 4, XIV).
c) Об одном обобщении исследований академика А. А. Маркова и т. д. (Труды 2-го Всесоюзного Съезда Математиков, т. 2. 1934).
12. Люстерник JI. Основные понятия функционального анализа (Успехи Математич. Наук, том 1).
13. Марков А. А.
a) О некоторых приложениях алгебраических непрерывных дробей (Санкт-петербург, 1884).
b) Новые приложения непрерывных дробей (Записки Академии Наук, 1896).
c) О* предельных величинах интегралов в связи с интерполированием (там же, 1898).
d) Исследование о предельных величинах интегралов (там же, 1900)
