О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть мероморфная функция Ф(г) удовлетворяет условиям
(54) |Ф (г)|^1прИ f __>_1_ * З* < О-
1 Этой же леммой для других целей пользовался Н. Г. Чеботарев [17]; в его статье приведено непосредственное элементарное доказательство леммы-
235
W лЯ&і t Тогда Ф(г) долу ска ет представление (55) ф(г) = е-^+6);П
1Ii
-I-J-'
Sft
где а Si О, и
(56) S«ft>0 (?=1,2,...).
Если число нулей Zk (к = 1, 2,...) бесконечно велико, то выполняются условия
со
(57) Z*-* оо и
ft=l
обеспечивающие сходимость произведения (55) при г фін (к = 1, 2,...).
Доказательство
В силу (54) все нули функции Ф(г) лежат внутри верхней полуплоскости Sz >0; пусть Zn (к = I, 2,...«; Szft > 0) некоторые нули функции Ф(г). Положим
- '-г
(58) фв(г)«ф(в)П-_^_> В силу (54) и того, что
л
п
Zft-*
= 1 при Sz = О, •
. Л Zb-Z ft=l' ж
из принципа максимума модуля вытекает, что
(59) I Ф„ (z) I <i ] при Sz >0.
Так как |Ф(г)|=1 при Sz=O, то по принципу Riemann'a-Schwarz'a нули и полюсы функции Ф(г) расположены симметрично относительно действительной оси. Поэтому, если Ф (z), кроме Zk (к = 1, 2,...,п), иных нулей не имеет, то Ф„(г) целая функция. Следовательно, в этом случае
(60) х Фп(2) = <ГШ(г),
іритом веществен! гого, в силу (59)
30(8) >0 при Sz >0.
где 0(z) целая и притом вещественная функция (|Ф„(г)|=1 •при Sz = 0). Кроме того, в силу (59)
236. Следовательно, по лемме 1
(61) 0{z) = az+b,
где4а > 0, 6?0.
Сопоставляя (61), (60) и (58), мы приходим к представлению (55).
Рассмотрим теперь другой случай, когда Ф(г) имеет бесчисленное множество нулей. Пусть {г*}Г последовательность нулей функции Ф (z), в которой каждый нуль участвует столько раз, какова его кратность.
Из неравенства (59) вытекает, что
(62)
|ф(*жП
A=I
Zu —Zl
Пусть Sz > 0 и гфгь (k = 1, 2,...). Из (62) заключаем, что при таком z бесконечное произведение
п
A=I
а значит, и произведение
п
A=I
сходятся. Но последнее произведение сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
(63)
У Z1-^-J W Yr^
ZJV ZH-ZI ZJI ZA—
A=I A=I
Так как гч -»со, то вместе с рядом (63) сходится и ряд
<64)
A=I A=I
А отсюда уже следует равномерная сходимость бесконечного произведения
(65)
оо 1 — •
п
A=I I":
в каждой конечной замкнутой части D плоскости, не содержащей точек Zkik = 1,2,...).
237. Действительно,
I 4k (z) I =
1
І -
1-:
SbI'
\гъ—г\\гь
<C
D\zk |a
(k — 1, 2,... У,
где
Cd = sup —
Z Zb
I Zk- * J
(zCD, к—\, 2...),
а следовательно, в областиD ряд "^m(Z) мажорируется сходя-
1
щимся рядом (64), члены которого умножены на константу Со. Положим
(66)
Фсо (Z) = Hm Ф„ (z) — Ф (?) ГІ "
Z
ft=l 1 —
В силу (59) (67)
|Фоо(г)|<1 при 3z>0.
Кроме того, Фм(г) — целая вещественная функция; поэтому, согласно - рассуждениям, которые мы уже проводили, из (67) следует, что
— (аг+Ъ) I
(68) Фоо (z) = е
где о>0, 6^0.
. Сопоставляя (68) и (66), мы снова придем к представлению (55). Лемма доказана.
Лемма 3
Если ДЛЯ последовательности точек {Zk} выполняются условия (56) и (57) леммы 2, то ряды -
(69)
со
р^Ы) k^p
(P= 1,2,...)
также, как и двойной ряд (п,р и любом комплексном z)
(70)
OO OO
P=1 k—p
=И 4 '
абсолютно сходятся. 238 Доказательство
Действительно, для всякого комплексного Z zP — 1'
а следовательно,
г —г
P-1
^z" Zp-1-"
fcssO
р-1
'13
і MJafcpI I3z|
/1M-1^ vWI и*
Zf
+V
В силу условий (57) мы отсюда заключаем, что все ряды в (69) абсолютно сходятся и, более того,
/ \ і P=1 fe=p' 4 1
Zk
оо оо
<
р=і Ai=P 1Ip
у s« Yv igip \
I^i2 U- P?-1 '
OO OO
у
Ld rP-1 Li
3
<
"l ^
где
Pp = inf(|zJ, |Zp+i|,...).
Так как pp оо, то ряд
p-i
P=і "
сходится при любом z и, следовательно, лемма доказана.
Обозначим сумму ряда (69) через Ь(р = 1,2,...), а сумму ряда (70) через Г(г); тогда
T(Z) = STpZ", р=1
где
Ь
OO / J \ Kb=P
(р = 1,2,...).
Лемма 4
Если последовательность точек {zft} удовлетворяет условиям (56) и (57) леммы 2, то целая функция
— 11 г fY і +—V (7.) Q(z)- е_,ГИП(1 —е + * "
A=I " '
,239 обладает тем свойством, что
OO I-JL
Q (z) п *к
<72) ~т=U1-^r-
Ч
Доказательство
Действительно, из (71) следует, что 1--2L
0(,) . u і—
Принимая во внимание, абсолютную сходимость ряда (70), мы легко перейдем от этого равенства к равенству (72)\
Мы будем говорить, что целая функция H(z) принадлежит типу (H0), если она допускает представление
т
(73) =
k=\
где а>02, Ь^О и 3%>0(? = 1,2,...»).
Затем мы будем говорить, что целая функция H (z) принадлежит типу (Hp) (р = 1, 2,...), если ее род р— 1 и она допускает представление
<74) H(z) =
/ \ 00 *_+—W +J_ 1
=е- і {»г ь) е- і ( сіг+...+Ср_ігР-і) J-J I J_ J_\? Zk z \ zk ) 1 Zlc) ^
k=l' Zft
где a> 0, ^<0,
OO
%zk>0(k±\,2,...),
1 Из формулы (72) следует также, что если последовательность (?} удовлетворяет условиям (56) и (57) леммы 2, то произведение (65) сходится при любом гфгк(к — 1,2,...) и представляет мероморфную функцию с полюсами zk (k = 1, 2,...). Нетрудно показать, что имеет место более общий факт, а именно: если точки zk (k = 1, 2,...) лежат в открытой полуплоскости 3>z>О и не имеют там точек сгущеиия, то при условии сходимости произведения (65 хотя бы в одной невещественной точке, оно сходится и регулярно в каждой точке zdpzk(k = 1,2,...), неявляющейся точкой сгущения последовательности {zk }• Кроме тою, если точка О не является точкой сгущения последовательности {гк}> то произведение (65) сходится при > О тогда и только тогда, когда
