О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
221. ибо в противном случае точка t0 была бы точкой сгущения множества E0, а значит, точка S0 ф 0 была бы точкой сгущения множества g(E0), что противоречит предположениям.
Перенумеруем те точки Etj, где g(t) ф 0; мы получим таким образом последовательность tt, іг, ..., при этом в силу наших предположений относительно g(E„)
Iimg(^)=O.
Положим для сокращения
P*«°(f* + 0) —o(f*-0) (k= 1, 2,...).
Если точка t не входит в последовательность {4}, то она либо не входит в E0, либо в ней g(t) — 0. Поэтому имеет место равенство
R со
J g* (t) f (t) da (іt) = Sp кё2 (4) (tu).
—R A=I
Из этой формулы уже нетрудно вывести, что оператор g(A) вполне непрерывен.
В самом деле, пусть {<рп} некоторая о-ограниченная OtPnI^ < М, tt = 1, 2, ... ) последовательность элементов из Cn-Тогда
R оо
М2> = f <P2n(W) > ?Pk<?*(4),
—R fc=l
а следовательно, при любом натуральном К
M
Ifn (4) I < -уу (п=\, %...).
4?-. к
fe
'^-Стало быть, пользуясь диагональным процессом Кантора, можно будет выделить подпоследовательность {}, для кото-рой 'будут существовать пределы
Ш) -:к = Iimtpnv(4) я= 1, 2,...).
Возьмем теперь произвольное положительное s и определим Такое По (г), что
(28) \g(tk)\<-Jtf- При k>tt0.
Затем определим такое число N (е), что л»
S р*S2 (4) I ?„v (tk) - <рп (4) I < 6а при V, V > N.
A=x
222. В силу (27) — это возможно. Тогда, если принять еще во внимание (28),
* OO
/6=л.+1
< е* + І 2 Р* 19* (Ы ~ % і2 < 5s* при }1, v > iV,
ибо
OO *\
2 <
<{l<fnJ + l<?n,J}*<4AR
Следовательно, последовательность {g{.4)%} о-сходящаяся и, значит, оператор g(A) вполне непрерывен.
Утверждение 2° доказано.
4. Сравнение критериев 1° и 2° приводит нас к теореме:
Теорема 2
Для того, чтобы позитивная в интервале (—оо,оо) последовательность { sfc } JT допускала представление
Sk = J tk do (t)
(к = 0, 1,2,...),
где неубывающая функция о(t) имеет ограниченное множество точек роста Es, единственными точками сгущения которого могут быть только наперед данные точки аъ as,... ар, необходимо и достаточно, чтобы числа
(29) аи bi (t — O, 1, 2,...),
были ограничены в своей совокупности и чтобы,
(30)
где матрица
Hm ga = 0,
і, к—><х>
ik\ Ю
:г(Ц4||) (II 4 II
a0 bо O O . ¦ o, a, b0 O . O b2 a3 .. O O bz O3..
223. и полином
* g{x) = {x — 0.1) (х-а2)... (х-ap). Доказательство
Действительно, как мы знаем из теоремы 1, множество Ei ограничено в том и только в том случае, если числа (29) ограничены в своей совокупности. С другой стороны, чтобы множество Е, не имело точек сгущения отличных от точек . а„ а2,... CL1,, необходимо и достаточно, чтобы множество g (E1), где g (л) = (X — (I1) ... (х — ар), имело единственную точку сгущения равную нулю. Последнее же условие при ограниченности множества Е„ эквивалентно (согласно критерию 2°) тому, чтобы оператор g(A) был вполне непрерывным, что в свою очередь (согласно критерию 1°) равносильно условию (30).
В частном случае, когда р — 1, O1 = а и, следовательно, g (л) = X — а, мы приходим к теореме Теорема 3
Для того,чтобы позитивная в интервале(—оо, с») последовательность допускала представле-
ние
OO
(31) sk=j'l*da(t) (?=0,1,...),
— со
в котором неубывающая функция о (t) имеет огра-ниченное множество точек ро ста с единственной точкой сгущения равной а, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
lim at = і, lim bt = 0.
і —> оо і со
В том частном случае, когда, последовательность j
позитивна в интервале <0, оо> и, следовательно, допускает представление
OO
Sk=Jfdeit) (? = 0,1,...),
О
теорема 3 была получена (совсем иными методами) еще Stieltjes'oM (см. приложение к [39а].
Как заметил нам Н. И. Ахиезер, несколько вариируя рассуждения Stieltjes'a, можно получить методом последнего общий случай теоремы 3. Однако, нам представляется мало вероятным, чтобы этим методом можно было бы доказать теорему 2.
§ 4
Остановимся специально на том случае теоремы 3, когда а = 0. Пусть в этом случае ^ll ... tn, ... (tn—»оо) послєдова-
224. тельность отличных от нуля точек роста функции o{t). Положим
(32) Ot0 = а( + 0) — о(— 0), mt=a(ti + 0) — a (?, — 0) (/=1,2,...) Тогда в силу (31)
OO OO
(33) s0 = m0 + ?mft, St=^mktik (/ = 1,2,...).
Легко видеть, что ряд
(34)
\1 щ
F{z) = т0 + 2, H=T^ і=і
равномерно сходится во всякой конечной области, не содержащей точек —і— (г = 1, 2, ...), и поэтому F (г) — мероморфная г;
функция с простыми вещественными полюсами
(35) = (/=1,2,...)
и вычетами
(36) -K=OjL- (1=1,2,...).
Кроме того, в силу соотношений (33), F(z) допускает в окрестности регулярной точки z = О следующее разложение
со
Пусть, обратно, степенной ряд Ss*2* сходится в окрестности
о
точки О и определяет некоторую мероморфную функцию F(z), допускающую представление
OO
F(z) = m0 + ^ i=l
где X1 (/ = 0, 1, 2, ... ; X1-* оо) все вещественны,
m0> О и Sign^ = Signxi (/=1,2,...).
