О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
1
Jf (x)g(x)dx>0.
—і
С другой стороны, правая часть формулы (45) равна
І І=І »
поскольку Z7(Sm-^i)C 0 и Z7(Tji) >0 (г= 1, 2,..., m). Аналогично доказывается, что S1 > — 1. статья и
М. КРЕЙН
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ О ПОЗИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛАХ
В первой статье настоящей книги было дано решение ряда трансцендентных проблем (степенной и тригонометрической проблем моментов) с помощью основанного на теоремах Helly перехода от соответствующих алгебраических проблем. Еще в 1921 г. Marcel Riesz [37] предложил другой прием, дающий возможность быстро и непосредственно (без предельных переходові решить указанные трансцендентные проблемы. Этот метод М. Riesz'a замечателен еще тем, что он, как заметил сам Riesz, допускает далеко идущие обобщения.
Настоящая статья посвящается изложению и развитию остроумной идеи Riesz'a.
§ 1
1. Пусть E некоторый ансамбль комплексных функций определенных для всех значений t из некоторого множества I. Функционал 9?0p), относящий каждой функции <рС E некоторое комплексное число, назовем ненегативным, если любой неотрицательной комбинации
п * п
(1) 2а* <Р* W г (t) > о (t С /),
і і
где срk С E(k = 1, 2,..., п), a ak (k = 1, 2,..., п) произвольные комплексные числа, отвечает неотрицательное число
(2) +
і і
В частности, если в (1) имеет место знак тождественного равенства, то и в (2) будет знак равенства. Поэтому, если $ ненегативный функционал, то, положивши при
п я__
(3) (P = ^gca <рй + ^a* tpft ,
X і
где (р* С E(k = \, 2,..., п), a&k(k = \,2____п) произвольные комплексные числа,
$ (<?) - S $ (<?*)+S
X X
121. мы тем самым однозначно определим некоторый вещественный? функционал $ на ансамбле Ё всех вещественных функций у (t} вида (3). Если первоначальный ансамбль E состоит только лишь; из вещественных функций, то E есть вещественная линейная' оболочка ансамбля E-, в общем случае E представляет из себя; линейную оболочку множества вещественных и мнимых частей, функций ансамбля Е. Функционал в ?, очевидно, дистри-
бутивен, т. е.
$(<P'+<P''1 = W) + W') при ff', t'CE
^ = ^ (<р)> если <р С Е, X — вещественное число. Функционал (<р), будучи ненегативным в Е, также ненегативен в Е, причем последнее уже означает, что
(4) $(<?)> О, если <f(f)> О Е), или что то же:
Ф (?') « Ф (?'), если <р' у) < ff" (t) (<?', ff' С E .
Ненегативный в E функционал мы будем называть просто позитивным в Е, если в (4) $ (<р) > 0 всякий раз, когда ? (t) не равно тождественно нулю.-
Пусть <}>(?) — некоторая вещественная функция, определенная в L Будем говорить, что она подчинена ансамблю Е, если в E найдутся две такие функции <р' (t) и <р" (t), что
(tct).
Лемма
Если. F некоторое счетное1 множество функций, подчиненных Е, то всякий ненегативный функционал^ в E можно доопределить на элементах из Z7 так, чтобы он остался ненегативным на множестве E + F.
Доказательство
Пусть /7=!?^°. Рассмотрим всевозможные функции <р', <р" С Е, удовлетворяющие неравенству
< Ъ < <?"•
Так как функционал $(?)) ненегативен, то ^ Op') < $ (<р"), а следовательно, существует такое число что
(5) sup$(<?')<?< inf$(<p"). Положим
_ ?-,-=^+(?}-
1 Если пользоваться теоремой Zermeto о возможности вполне упорядочить любое множество, то можно отказаться от требования счетности.
122. Теперь функционал ?|3 определен в E1-, покажем, что он в E1 ненегативен. Действительно, если
то предполагая с > 0, мы будем иметь
_ _ <р < .
и следовательно, в силу первого из неравенств (5)
-I^OpX т)
или _ (6)
Аналогично доказывается это неравенство для случая с<0-В случае с==0 неравенство (6) имеет место в силу ненегативности $ в Е.
Итак, функционал S? определен уже в E1 и там ненегативен. После этого мы можем определить $0??) так, чтобы функционал ^ был ненегативен в
Е^Е. + Ш^Е + ІЬи ФЛ-
Продолжая этот процесс до бесконечности, мы определим функционал на всем множестве
E + F = E + {$U fc...}
и так, что о» на этом множестве будет ненегативным.
2. Мы будем теперь рассматривать тот случай, когда I есть замкнутый конечный интервал < о, Ь>, и всякая функция <f С E непрерывна в /. Для этого случая имеет место
Теорема 1
Пусть множество ? содержит, по крайней мере, одну положительную функцию ш0(?) в 1~<а, Ь>. Тогда для того, чтобы некоторый функционал $ определенный в ? допускал представление
ь
(7) $(<Р) = fy(t)d<s(t) (<?С Е),
а
Где a(t) некоторая неубывающая в <а, Ь> функция, необходимо и достаточно, чтобы он был иенегативны м функционалом.
123. Доказательство
Необходимость условия тривиальна, ибо если $ (<с) допускает представление (7) в Е, то он допускает такое же представление в E; с другой стороны,
ь
J'<t(t)ds(t)>0 при y{t)> 0 (а <?<&).
а
Докажем достаточность условия.
Пусть а некоторая произвольно выбранная точка внутри интервала / Положим для т > а
(8) CtW==/ 1 пРИа<^<'
\ 0 в противном случае
и для т < а
(9) Ct(^) = I"1
I Ob противном случае.
Пусть {tkнекоторая плотная в / последовательность точек, содержащая в себе концы а и Ь. Так как при достаточно больших Cft (ft = 1,2,...)
