О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
При выполнении этого условия существуют две и только две формулы типа (43). Эти формулы характеризуются следующими расположениями у з л о в:
— 1 <%<Л< ••• <4m<^»< 1 (т=1г)'
1 =Т),<Л< ••• < ImCSm- 1 (^=IT+1)'
/ п + 1 \ ("-—)
•если п число четное, и
— 1 <fil<Zi <...< <Sm = l п + 1
— 1 = IJl < Si < . • ¦ < V < Sm < 1 -если п число нечетное.
Доказательство
Справедливость марковской формулы (43) для любого многочлена степени п эквивалентна справедливости равенств
m т
/=1 і=і Ii
і і
= L Jx* {l - sign dx= Jxh f*L (л) dx (k=0,1,..1),
412. где
?(х) = (х — ^)...(х -Sm),
ф(*) = (*—4l)...(* —Im). •
Поэтому теорема 14 является прямым следствием утверждения d) теоремы 11.
Отметим далее, что из утверждения с) теоремы 11 вытекает
Теорема 15
Если последовательность (44) s0, s1,..., sn—i
позитивна1 в интервале < — 1, 1>, то функция q(x) допускает формулу П. Чебышева порядка п.
Замечание 1
Вводя некоторое число 0, удовлетворяющее неравенству — 1 <0< 1, можно строить квадратурные формулы типа
1 ft т ; 1 f F(x)q(Xidx = M{-±±±F(-l)+YF(Z1)-
-I ''=1
-.f -^tlZ7(I)J.
Для них остается в силе приведенная теория, а теоремы 14, 15 даже упрощаются, так как требование позитивности или негативности в интервале < — 1, 1 > ' последовательности (44j отпадает.
Замечание 2
П. Чебышев иллюстрировал свое правило на функциях
q(x) = x,-yA=^ (-1<я<1).
В первом случае (q(x) = x) мы получаем, что,
і і (ft-f Dsft= fxk^xdx = (k + l)fxk^~dx, —1 —і
а последовательность
і
Sk= '-J'** (l—x")dx (? = 0,1,2,..;)
-і
позитивна в интервале <—1,1>.
1 Теорема, очеиидно, остаетсч в силе, если последовательность (44) негативна в интервале < — 1,1 > .
Ахиевер и Крейн—65—8 ИЗ Во втором случае (q (я) = * ^ мы также найдем, что последовательность
S0, Si, sg, . . .
позитивна в интервале < — 1, 1 > , так как
і і
(ft + 1) Sft - Jjc*+1 dx = (ft + I)Jx" /П^лГ2 dx
(ft-0, 1,2,...).
Поэтому' к функциям х, х.....: применимы теоремы 14 и 15.
У I *
Если мы положим
о — oo <х < 1
ft (¦*)-{ — 1<х<1
О 1 < X < оо
О — OO < X <1
<h(x) = {yT^I — \<Х<\
О 1 < х< со,
то найдем, что к функциям qr(x) и qt(x) применимы также теоремы 12,13.
Легко видеть, что и вообще, если q (х) X2m абсолютно интегрируемо В интервале (—оо.оо) и если функция
*
P(X) = fq(x) dx
—OO
^охраняет постоянный знак в интервале (— со, оо), то к функции будут применимы теоремы 12, 13. Действительно, в этом случае
OO OO
sI= 17+7 xi+19 W dx = 77Г / ^+1 dP (*) =
— OO —OO
JV N
= lim {- fx>p{x)dx + 4^rP(x) П.
JV-*-co V j +1 I
— N —N
А так как
N оо
N/+1 p (N) = NJ+1 J q (X) dx = — Nj+1 J q (x) dx,
N TO
oo oo
|A//fV(^)l< f^il\q(x)\dx<fxtm\q(x)\dx-*0 (JV-»co)
N . N
и подобным образом
Nmi p( — N)->0.
114. Следовательно,
OO
Si = — fx>p(x)dx (/ = 0,1,..., 2т — 2),
—do
откуда вытекает, что последовательность
s0> sU ' • • і sim—г
в интервале (—со, оо) позитивна при р{х)< О и негативна при р{х)> 0.
Приведем некоторые примеры. 1. Формулы А. А. Маркова і
/,F<,)=.j-{F(A) , •
-і
>ормулы Г). Jl. Чебышева
—1
1
-1
-1 1
j xF(x)dx ^ 0,23937{F(0,89224) + F(0,50030)-/=4-0,50030) — —/=•(—0,89224)}.
4. Предыдущие соображения ,могут быть применены также и для построения квадратурных формул типа 1
(45) fF(x)g(x)dx = G { ^V(S1)- І F(Ijf)),
—1 i—l J=1
1 Подобными формулами также впервые занимался А. А. Марков. Они представляют частный случай формул порядка л вида
Г
(a) J F(X) g(х) dx= C yi E1- F (Xi) (е,- = ±1, - 1 < Xi < 1).
—1 i=l
Последняя формула содержит в частном случае (є,- = I) первую квадратурную
формулу П. Л. Чебышева [18J]
1
(?) [ F(x)g(x) dx ^ ~ ^ F(Xi),
Л
где
1
— I < Xi < 1, О =J g(x) dx > 0.
115. (верных для любого многочлена F(x) степени <2т+1), где
* і
(46) G,= fg(x)dx> 0.
—і
Теорема 16
Для того, чтобы функция g{x) допускала квадратурную формулу (45) п о р я д к а 2т + 1 с у з л а м и Sb •*],•, удовлетворяющими неравенству
ч
- 1 < < Tj1 < S2 < . . . < Sm+1 < 1 ,
необходимо и достаточно, чтобы была ненегативна в интервале < — 1, 1 > последовательность o0= 1, O1,.. .,з2т+1, определяемая с помощью разложения
(47) ^1'=^ + ... + ?+...,
где
1
№ Sft = FTT JXk^gWdx (?=0,1, 2,...)
—і
Доказательство
Предварительно заметим, что соотношение (47) может быть представлено в виде
t О г г* г ш+1)
(48) .c^'
zSm+S
где (48,)
Докажем вначале необходимость.
Предположим, что функция ^r(X) допускает квадратурную формулу (45), где
— 1 «• S1 < Tj1 < S2 < ... « S/n+i < 1.
Иб Из (45) и (48ї) следует, что
+ ...+ Cx-D-
= _ 1 о h{i _ sign (¦* -?)(X- V12). -r, )(x-1) \ dx =
2 J { S (X — ?і)(А- — у...(JC-Ьт)(х — Чт+1) )
—1
і
= J xkfa (x)dx (k = 0, 1,..., 2m),
—і
где
-G<fa(x)< 0.
¦
Отсюда на основании замечания к теореме 5 (если положить 6 = -1,2L=G) и получается, что последовательность
