О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
2. Будем вначале рассматривать случай бесконечного интервала.
Пусть для вещественной функции q(x) (— оо < л; < оо) имеют ¦смысл интегралы
OO
J Xk q (х) dx = ksh-i
—OO
для всех тех целых положительных k, которые мы будем рассматривать и пусть
со
J q (я) dx = 0.
— OO
Будем говорить, что функция q{x) допускает квадратурную формулу А. А. Маркова порядка 2т, если существуют числа
(37) ^i<?I<IQ2< •••
и вещественное число L, для которых
~ т
(38) J Ptm(x)q(x)dx = L^i [Pim (Sf) - Pim (7),)}, —оо г=і
каков мы ни был многочлен Pim (я) степени <2т.
Далее, будем говорить, что q (л:) допускает кваідратур-ную формулу П. Чебышева порядка 2т 4-1, если существуют вещественные числа К, Hi, ?,-, для которых
00 т
(39) j Pim+1 (X) q(X)dx = K^i {Рш+гЫ-Рш+^Фд}, '
— со г=і
каков бы ни был многочлен P«m+i(.x) степени <:2/и4- 1-Теорема 12
Для того, чтобы функция q (х) допускала квадратурную формулу А. Маркова порядка 2т, н е о б х о-
1 См. Н. Ахиезер н М. Крейн [1Л].
109. димо идостаточно чтобы последовательность
s0) s1, ... , sjm_2
была позитивна или негативна в интервале (— оо, оо). Доказательство
Допустим, что функция q(x) допускает квадратурную формулу А. А. Маркова (38) порядка 2т. Из этой формулы следует, что
°° т
(40) (k + 1) Sk = J Xfe+1 q(x)dx = L^iI - -Tif+1 }
— оо г=г
(? = 0,1..., 2т— 1).
Полагая
<р (л) = [X - S1) [х — (X— SJf
ф(Л) = (Л — Yil) (X-Ti2) ... (X-T)m)
и принимая во внимание (37), мы можем представить соотношения (40) в виде
OO
(41) sa = jxhfL (X) dx (к = О, 1, 2,..., 2т — 1),
— оо
где .
/IW--H1--»-ЙШ-
Формулы (41) показывают, что последовательность
(42)
Sq, S1,..., Stm-I
позитивна (соответственно негативна) в интервале (—оо, оо> если Z. > О (соответственно L <0).
Кроме того, на основании теоремы 8 мы заключаем, что IL I > i-m—l-
Перейдем к доказательству достаточности. Мы можем принять, что последовательность (42) позитивна (в противном случае достаточно заменить q (х) на — q (a)j.
Взявши произвольное число L > Xm-1, мы можем на основании теоремы 7 найти функцию
AW-H1-*»^
для которой
OO
Sk= J xkfL(x)dx (k = О, 1,2,..., 2т — 1)„
-OO
причем <рт(х), <]>m(x) — полиномы степени т с перемежающимися корнями.
110. Повторяя в обратном порядке примененные при доказательстве необходимости рассуждения, мы легко убеждаемся,, что полиномы ^m О* Ь ^m (¦*) порождают квадратурную формулу А. А. Маркова порядка 2т.
Замечание
Из доказательства следует, что функция q (х), допуская одну квадратурную формулу А. А. Маркова данного порядка 2т,. допускает их бесчисленное множество: по одной для каждого L, удовлетворяющего неравенству
L > 1т-х (соответственно L <—Іщ—і),
оо OO
если J xq{x)dx> 0 (соответственно J xq {x)dx < 0); мы ви-
— OO —со
дим также, что. указанный нами прием построения формул А. А. Маркова дает все формулы порядка 2т, кроме, быть может, тех, для которых I LI = Хт_і.
Теорема 13
Пусть последовательность (42) sQ, Sx,..., S2m-г
позитивна в интервале (—оо, сю).
a) Если последовательность (42) совершенна, то функция q(x) допускает квадратурную формулу П. Чебышева порядка 2т—1.
b) Если последовательность (42j н есов е р ш ен на, то функция q(х) допускает квадратурную формулу П. Чебышева с числом узлов <2т. — 4, справедливую для многочленов степени -<2т — 2.
Доказательство мы можем опустить, так как оно протекает так'же, как и доказательство достаточности в теореме 12, если воспользоваться результатами § 3 настоящей главы. Заметим только, что формулы П. Чебышева, существование которых дает теорема 13, являются вместе с тем формулами А. А. Маркова, т. е. в них имеет место перемежаемосгь узлов а( с узлами ?f.
Отметим далее, что в случае Ь) можно сказать, что q(x) допускает с в е р X ч е бы шевскую формулу порядка 2т — 2.
3. Перейдем теперь к случаю конечного интервала. Предполагая, что функция <7 (л) удовлетворяет соотношению (31), будем рассматривать квадратурные формулы типа (32).
Как и раньше, будем называть порядком формулы (32) число ti, если формула (32) верна для всех многочленов степени < п, но не является верной для всех многочленов степени л+1.
Кроме того, условимся во всем дальнейшем обозначать через г число тех узлов а{, ^i, которые лежат внутри интер-
Ut вала— 1 < X < 1, опуская, таким образом, при нахождении числа г те узлы, которые совпадают с концами интервала < —1, 1 >.
Слегка изменяя прежние определения, будем называть формулу (32) чебышевской, если п> г + 1 и марковской, если п=г и если, кроме того, узлы а{ перемежаются «с узлами Pi.
Сохраняя прежние обозначения
і
(?+l)sft= ^xk+lq(x)dx (? = 0, 1, 2,...),
докажем следующее предложение Теорема 14
Длятого, чтобы функция q (х) допускала квадрату рную ф"о р м у л у А. А. Маркова
(43) f F(x)q (X) dx=2L% [F(Zt) - Ffrl)]
—і
порядка п, необходимо и достаточно, чтобы последовательность <44) S0, S1,..., s„-i
-была позитивна или негативна в интервале < — 1, 1 >.
