О некоторых вопросах теории моментов - Ахиезер Н.
Скачать (прямая ссылка):
-CftffloW (t) < CftW0W и +CftOJ0W С E (ft=l, 2,...),
то по лемме § 1 мы можем доопределить функционал $ на всех функциях Zik {t)(k=\, 2,...) так, чтобы он был позитивен на ансамбле ? + {&/ftW}~- Тогда из неравенства
і
(и — любое натуральное число) будет вытекать неравенство
Положим после этого
(10) = (ft= 1,2,...). Так как
ПРИ *і<Ь,
то
О(tj) <a(tk) при tj < tk .
Доопределим функцию о W во всех других точках =
= 1,2,...) интервала I так, чтобы она осталась монотонной,
1 Требование, чтобы точка а лежала внутри J совершенно несущественно; мы его выставили только лишь для того, чтобы'возможно большую часть наших рассуждений при доказательстве теоремы 1 можно было бы перенести на случай доказательства теоремы 4 fCM. стр. 134).
124. положивши, например,
(10') a(t) = sup a(tk) (t С /),
tk<{
и покажем, что построенная таким образом функция дает искомое представление функционала $(<р). Так как вещественнаяgn мнимая часть функции <р С E принадлежат всегда Е, то равенство (7) будет доказано, если мы докажем, что
ь
$ Cf) = J'? {t)do(t) при ср С Е.
а
9
__•w'
Пусть ч} СЕ, тогда для любого є > 0 мы можем всегда определить точки a = S1 <s2 <... < Sn = Ь, принадлежащие последовательности так, чтобы
- зш (t) < <? (O-Sf ) fr* u W - < ЕШ W-і
Применяя к обоим частям функционал % получим
- H < $ (ср) - ? <р (Sk) [о (5й+1) - О (Sk) ] < ((0).
k=l
Переходя здесь к пределу, когда max (ss+i — sk) -»0, получим далее, что
J'9(t)d°(t)
Из последнего неравенства в силу произвольности е> 0 вытекает (7). Теорема доказана. 3. Пусть
®о(«, (t),, WiV),... (tCI)
некоторая последовательность комплексных функций, определенных в I.
Последовательность комплексных чисел с0) Cii назовем
ненегативной (позитивной) относительно последовательности функций {wk(t)}, если функционал $(<р), определенный на последовательности {wk} равенствами
%(wk) = ck (k = 0, 1,...),
ненегативен (позитивен).
Очевидно, что это определение ненегативной (позитивной) последовательности {ck} является непосредственным обобщением того, которое мы привели в начале главы 1 статьи I.
В качестве непосредственного следствия теоремы 1 получается
125. Теорема 2і
Пусть последовательность {^(?)} состоит из непрерывных функций в конечном интервале (a, by и, кроме того, обладает тем свойством, что из ее членов можно образовать, по крайней мере, один положительный полином:
т т _
ш (t) = S a»w* (*) + ^kWk (t) >0 (а < t < by
і і
Тогда для того, чтобы последовательности чисел {ck} отвечала, по крайней мере, одна неубывающая, функция о (?) (а < ?< Ь) такая, что
ь
(U) ck=?wk(t)da(t) (? = 0,1,...),
а
необходимой достаточно, чтобы последовательность {си} была ненегативной относительно последовательности {Wk (t)}.
Доказательство
Действительно, множество E= {wk (t)} удовлетворяет условиям предыдущей теоремы (E содержит положительную функцию «>(0). С другой стороны, ненегативность последовательности {ск } относительно последовательности {Wk (*)} эквивалентна,, по определению, позитивности функционала определяемого-на E равенствами:
%{wk)~ck (k=0, 1,...).
Теорема доказана.
В целях дальнейшего покажем, как можно доказать теорему с помощью некоторых геометрических соображений. Без ограничения общности мы можем считать, что все функции Wk(t) вещественны, ибо в противном случае мы могли бы перейти от последовательности {"Wk(t)}- к последовательности, составленной из вещественных и мнимых частей функций Wk (t), к затем соответствующим образом преобразовать последовательность чисел {ck}.
Кроме того, будем сперва предполагать, что последовательность {wk), а следовательно, и последовательность {си} содержит конечное число, скажем, п членов.
Обозначим через ® множество всех точек х = (S0,... Sn-J евклидового пространства п измерений, координаты Si [i = 0,. 1,..., п—1) которых допускают представление
1 Эта теорема в несколько более частном . виде (wt (0 =1) была впервые установлена F. Riesz'ом [36b]. Впоследствии к этой теореме возвращались и переоткрывали ее очень многие авторы. В частности, эту теорему, вместе с приводимым ниже геометрическим доказательством, можно найти в статье автора [116] и у Schoenberg'a [38] (который указал целый ряд других своих предшественников). См. также Л. В. Канторовича [6а].
126. ft
(*)&(*) (i-0, I,...«—1),
a
где a(t) некоторая неубывающая функция.
Множество SB обладает следующими свойствами:
a) Я! есть коническое выпуклое множество, т. е. из х, у С и 1>0 следует, что Ал: С х +у с.
b) SB содержит кривую L, уравнения которой
X0 - W0 {t),... Х^.1 - Wn^ (t) (a<t<
c) Я! расположено по одну сторону от некоторой гиперплоскости, имеющей с Sfc единственную общую точку — начало координат.
d) $ есть замкнутое множество. Свойство а) очевидно.
Свойство Ь) следует из того, что в качестве o(t) можно« взять кусочно постоянную функцию с единственным скачком равным 1 в произвольной точке t.
Для доказательства свойства с) напомним, что согласно условию теоремы существует положительная комбинация
