Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
+ E1SJS10 I- F4SJll,+ Я.
25.2.44. 85, - Ss - 0.013128« + 0.00438' - 0.00181°.
25.2.45. 8*, - S4 - 0.278278е + 0.06858" - 0.016810.
25.2.46. R к 0.00000083 I IiSjraI + 0.0000094S'. 67r6
684 25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Формула Бесселя с модифицированными центральными разностями
25.2.47. /(л t рк) -
- (1 -P)f, + Pfy + + «.,) + BsS13Zi + Л,
В _ ~ " A, _ ^ ~ 1HP - .
2 4 \ * 6
25.2.48. SJ1 - B= - 0.184а*.
25.2.49. Я X 0.000451 ц8}„| + 0.0CCS7 |
Интерноляцнонная формула Тила
25.2.50. Дх) - Дд,) +
'Л V1, .Ya) ' X-JT3
PstTi, *!, - /(-Ti) >- Jt -
Ta, X3, X4)'
P(xi, ха) (-
Тригонометрическая Интерпол« иня Формула Гаусса
25.2.51. Дх) х ?>?*(*) - tn(x).
25.2.52. Ы-х) -
sin — (х — Xo) ...sin — (л: — л^-і) __2_ _2___
sin — (Xft--Vo) ...sin— (Xfc- XK-l) 2 2
sin -- (Xfc - Xk+i)... sin — (x — X2n) 2 2
X-----------,
sin — (Xfc — xjf+i) ••• sin -(Yfc - .r2n) 2 2
ln(x) — тригонометрический многочлен степени n такой, что
Uxk) ^fk (ft 0, 1..... 2 и).
Гармонический анализ
Пусть V0 = 0, Xi..... Xm-i, хт — 2п — равноотстоящие
абсииссьг. Тогда
25.2.53. Дх) й - д0 + ^ cos кх + hsc sin кх)-
25.2.54. tu — 2п 1,
ab -----5^ fr cos kxr,
2и + 1 .?
bk =---VVr sin (к -= 0, 1, ...,я).
2« + 1
25.2.55. w = 2п,
I 2я -1
Cllc = — tP fr cos/rxr (Л = 0, 1, ..., «), и
2« —1
ь* = — 2 /г sin itxr (к = О, ], .... п - I),
п г=0
&п— произвольное.
Субтабулирование
Предположим, футпеция fix) была протабулирована первоначально для значений х, отстоящих друг от друга па интервал длины h. Требуется протабулировать f(x) с интервалом Шт. Эта операция называется субтабулированием. Пусть через Д и А обозначены разности, соответ- _ ствуюшие первоначальному и последующему интервалам.
Таким образом, Д0 = f f xn -I- — ) —Дхо). Предположим, I т)
что первоначальные разности 5-го порядка равны нулю;
тогда
25.2.56. A0 «=
_ і Ai + Lz« і, + Я - »0Q - ago д3 +
т 2т* 6т»
, (1 - т) (I - 2м) (1 - 3т) + M
д.= J- Д. + Ц= д»+ I1^H7- 11=)
12 т*
дз = ± Д§ + fcif AJ,
2т"
AS=-^AS-
Последовательно суммируя полученные разности, можно построить требуемую таблицу. Для лі = 10
25.2.57.
Д. = 0.1До - 0.045Д? + 0.0285Д§ - 0.02066AJ, Д§ = 0.01Д5 - 0.009 До + 0.007725 Д8 = O.OOlAjj - 0.00135 Д^, AS = 0.0001 Aj.
Обратная интерполяция Найти р при данном у; — /(.V0 -1 ¦ рк).
25.2.58. р
Линейная обратила интерполяции
~ A-A
Квадратичная обратная интерполяция
25.2.59. (Л - IA I /-.)/" - (/і -/-.)/>+ 2(Л-/,) « 0. 25.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
679
Обратная интерполяция путем обращения ряда Пусть
25.2.60. Дх0 + ph) = ft- ^mpt.
к* 0
Тогда
25.2.61. р - ). + CaJ.2 + с,Х» + ..., X = Cfp - UaVa1.
25.2.62.
„ _ "«
Ca--'
Ol
C, = ZJU + 2W. «і
с _ ~ g» 5aai38 _ 5а|
Лі а? А?
с _ ~ flS 6д804 Зо| _ 2 Iajja3 14a?
ах af a\ of aj
Если обращается формула Ньютона для интерполирования
«вперед», то
Яо = /о,
= д» •
да Д| __ AS
2 3 4
Д& де^ид4»
Ci =----н---
2 2 24
3 6 4
а4 =
s . 24
Если обращается формула Эверетта, то 25.2.64.
<*о = /о,
„-^-s.s + a + a + ....
3 6 20 30
„ _ « Sa +
flа -----г ...,
2 24
-8§+»ї SS+ SJ ,
03=--- + ...t
6 24
о, = J + ....
24
-SS+Sj = -T^--^ ' "
ДВУМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ Интерполяция по трем точкам (линенная)
/(х„ +рй.л + gt) - (1 - P - ?)/«.„ + J>/i.o + ?/»,! + O(If). Интерполяция по четырем точкам
25.2.66.
f(x„ + ph, у, + qk) = (\-р)(\- q)fi.,+p(l - Я)А.,+
+ «а - ?)/».! + рчАл + O(If).
Интерполяции по шести точкам
25.2.67.
/(*> + ph, у„ + як) ~ '-kY^A.-.+ .+
р(р - Iq + 1) , 2
?(?-?+!)
25.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
Формула Лагранжа
25.Э.1. Аде) - S да/, + ад
(см. 25.2.1).
25.3.2. Vt(X) =
Jri (х — Xk) (х - xj) Jti(Xi)
25.3.3. % (x) = ад + —/[*«)( 5),
(л + 1)! (в + 1)! rfx
5 = |(х) (х«<5<хя). 680
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Равноотстоящие абсциссы Три точки
25.3.4. Л= Axo + Ph) =
Четыре точки
25.3.5./; =/'(*. +рК) -1 Г 3Pf - 6р + 2 Зр8 - 4р - 1
-1A-
6 Л + ^-Г-^А-
V-2p-2 ,,3/ - 1 *-2-
A + ^ta л} + я'>-
Пять точек 25.3.6. /„ =/'(*» + =
1 f 2рх - Зр" - JJ + 1 , 4/ - Зр» - 8р + 4
¦ — ' - --
12
'Al +
, 2р' - Sp 4р' + Зр' - 8р - 4
+ --__/„-----/,+
2рЕ +V-P-12
-л} +
Числовые значения коэффициентов формул дифференцирования см. в табл. 25.2.
Формулы Маркова (Формула Ньютона для дифференцирования вперед.)
25.3.7, /'(а0 +ph)=- IA0 + 2р ~ 1 +
ft I 2
6 rfp InJ J
25.3.8. я; =AVwi(S) — /—^ 1 rfp I л + 1./
+ А"+1
f Р ]-/'*
I п + 1 I Jx
+ ¦'(5) (а, <5 СЛ.).
25.3.9. А/0 = Д„ - - Д| + I Д§ - 1 Aj + ...
2 3 4
25.3.10. AsZS" = Д» - Д| + — AJ - 1 AJ + ...
12 6
25.3.11. A3ZS31 = Д» - 1 А} + 1 Л» - U Д< + ...
25.3.12. А4/о4' = Д{ - 2AJ + — AJ — — д; + ...
6 2
25.3.13. № = Д5 - — д; + — Д5 — — Д5 + ...
