Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
24 144 684
2S. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРВНЦЯР08АНЙЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
25.4.24. ^ /(I) Jx =
_ JStolj
20 J X,
25.4.25. ^ /(*) Л" -
20 140
7А 1440
(«П/і-453/, + 562/, + 5*62/, -
- 453/, + 611/,) + /|6)(5)A7.
864!!
25.4.26. (j /(і) л 8А
945
(460/, - 954/, + 2196/, - 2459/, +
+ 2196/, - 954/, + 460/,) + -2ІЇ- /('i(5)As.
14175
Формула интр, рирования аналитических функций но пяти гонкам
i3-h
¦ Zt* h
^ т iz -
Zl-Ui
- (24/(?) + 4[/(z„ + Ii) + /(г,-А)] -
- [/(г, + /А) +/(г, - Ih)]) + Я.
Г АР
S — квадрат с вершинами z0 + ItA (к ~ 0,1, 2,3); h может быть комплексным.
Квадратурная формула Чебышева с равными весами
25.4.2Я. (J f(x)dx ^/ГхЛ f
Абсцисса Xi является і-м нулем полиномиальной части выражения
* Г -п
X ехр -
12-Ъх
Эха 4 • 5л3 6 • 1х* J
(значения Xi см. в табд. 25.5).
Для H — 8 и п > 10 некоторые из этих нулей являются комплексными.
Остаточный член:
(» + 1)!
-/'"+1KDdx-
л(л + 1)!
где ? = jCs(X) удовлетворяет неравенствам 0 ^ і S x и 0 S xt (/=1.....п).
Квадратурные формулы типа Гаусса (Ортогональные многочлены см. в гл. 22.)
Формула Гаусса
1
25.4.29. {/(Х) dx = V WiZ(Xi) f Д„.
J1 .
Соответствующие этой формуле ортогональные многочлены — многочлены Лежандра P,t(x), P1»(l) = 1. Абсциссы: хі — і-й нуль многочлена PnCjr).
2
Весовые коэффициенты: ^t — - - - •
(1 - xf) K(X))*
(Значения Xi и iy, см. в табл. 25.4.)
R,„ _ ^V)'-/і»і(0 (-1 < S < 1).
(2л+ 1)[(2„)Г
Формула Гаусса для произвольного интервала »
25.4.30. ^f(V) dy =. J2 wif(y*) +
Соответствующие ортогональные шгогочленьп l'rjx), Pm(I) = — 1. Абсдиссы: Xi — і-й нуль многочлена i'Jx). Весовые коэффициенты:
2
Wi = - .
(i-i9(W?
R _ (Ь - <|)'-"+'("')' ,а„+, „я)(Е) (2л + l)[(2„)!f
J
4.31. ij
Квадратурная формула Радо 2
25.4.31. ^ /(X) dx - —/-, + ^ щДх,) + Sn.
РиИ + вд
Соответствующие многочлены: -
1 + 1 25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
685
Абсциссы: Xi — j-й нуль многочлена Р„-Ах) + f»(x) _
X + 1
Весовые коэффициенты:
= J_ 1 - X, __1 I _
Щ п" IP^1(X1)? 1 - Xt К-,**,)]2
Остаточный член:
(—і <?< 1). Квадратурная формула Лобатто
4.32. J
25.4.32. \f(x)dx-
п(п - 1)
i/o) + л- !я + »'•/(»>+«»¦
Соответствующие многочлены: Plt-i(x). Абсциссы: Xi -<t — l)-й нуль многочлена J'^ ,(х). Весовые коэффициенты:
(М* ±1)-
п(п - 1) [P„-i(«)]a
(Значения Yj и Iv1 см. в табл. 25.6.) Остаточный член:
R -"(" - 1)' - 2)!)'
" (2л - 1) [(2и - 2)!]»
(-1<5< 1).
25.4.33. \ х*Ях) dx ^ У\ №,/(*,) -г Л..
jO -1
Соответствующие ортогональные многочлены: qn(x) = yjk + 2n + І P^t - 2х). (Многочлены Якоби Pn'см. в гл. 22.) Абсциссы:
Xt — г-й пуль qn(x). Весовые ко эффи циснты:
IVl-
(Значення Xi я щ см. в табл. 25.8.) Остаточный член:
г<гп>а)
«)lL (к + 2«)! J
(А: + 2л+1)(2л)!
1
С __*
25.4.34. \f(x) Vl - X dx = ? щ/(хі) + Rn. і .-1
Соответствующие ортогональные многочлены: 1
VI-X
iWi(Vl -*)> JWl(I) = I.
Абсциссы: xt = 1 — где ?{ — /-й положительный нуль многочлена P^n+Sx).
Весовые коэффициенты: ич=2?® и>?8"+1>, где являются весовыми коэффициентами формулы Гаусса порядка 2н + 1.
Остаточный член:
Rn -------[(2" + 1)1]4--f^il) (0 < 5 < 1).
(2и)!(4н + 3)[(4й -Y 2)!]8
ь и
25.4.35. VT="* dy = (b — аТ* J^ WlJXyl),
а 1
Уі — а -г (b — a) xt.
Соответствующие ортохональные мьегочлены:
-P=L= р2Я+і(Vrr*), /wo) = і.
V 1-х
Абсциссы: лі = 1 — Hf, где \і — 1-й положительный нуль многочлена F2«+i(x).
Весовые коэффициенты: нч =2 E*m,/8w+1), где »i<2w+1) являются весовыми коэффициентами формулы Гаусса порядка 2n + 1.
і
25.4.36. ( {M=l dx - V4 *«/(х,) 4- Л».
JVi-* frl
о
Соответствующие ортогональные многочлены: Pmi-J 1 - X), P2n(I)- 1.
Абсциссы: Л{ = 1 — где Ci — /-й положительный нуль ьшогочленл ^2п(х).
Весовые коэффициенты: и»< =- 2w\in), w}an) — весовые коэффициенты формулы Гаусса порядка In.
Остаточный член:
Rn = (0<?< 1).
4л + 1 [(4л) !]-
6
25.4.37. ( - Д7!- ?// = Vo^ + Rn, Hb- у fzi
а
Уі = a + ib — a) xt.
Соответствующие ортогональные многочлены: Р&ЫТ^с), Pm(I) - 1.
Абсциссы: xt = 1 — 1;®, где %t — г-й положительный нуль многочлена Psa(X).
Весовые коэффициенты: H1 — 2wt(2n)i H1J2я) — весовые коэффициенты формулы Гаусса порядка In.
1
25.4.38. [ dx - V Wif(Xi) + Rn.
J У J - хг fzi 692
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Соответствующие ортогональные многочлены: многочлены Чебышева первого рода Тп(х), Гд(1) = ^w ^ •
Абсциссы:
х» — cos
(2і - 1) и
2 п
Весовые коэффициенты:
7С
Wі — — •
Остаточный член:
Rn --
(2п)) 2гп~г
/<2ПЧ5) (-!<$< 1).
25.4.39. С —ШШ=== = VJ wtf(yi) + Rn. З ^у-а)(Ь-у) fzi
Ь + а , Ъ — а
Соответствующие ортогональные многочлены: 1
Г.(х), Г„(1) =
xi = COS
(2і - 1) те
2и
Весовые коэффициенты:
TC
Wf = — • п
1 я
25.4.40. С /(a-) Vl^rXi Лґ = ? и',/0«) + Я». J1 .= I
