Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Соответствующие ортогональные многочлены: многочлены Чебышева второго рода
ад =
sin [(я + 1) arccos Aj sin (arccos х)
Весовые коэффициенты:
Я . а І
Wt = -sm -
л + 1 Л + 1
Остаточный член:
Rn =
(2л)! 2!"+г
:/рт)а) (-!<?< 1).
25.4.41. ^ V(j> - а) (4 - у) f(y) dy -
= (^)2E "^M + *.,
b jT а , b — я
У* ^ —~—' + — 2 2
Соответствующие ортогональные многочлены: U ^ _ sin [(и ! 1) arccos л] чіп (arccos дг)
Абсциссы:
Xi — cos —-— TT п + 1
Весовые коэффициенты:
Tt . . і
»Vi == - Sinj--п.
п + 1 It + 1
1 _
25.4.42. ([/(л-) - Z^ w^ + о 1 = 1
Соответствующие ортогональные многочлены:
Гх
Абсииссы:
Весовые коэффициенты:
Остаточный член:
Rn =---/"'"'(o <0 < I < 1).
(2n)\2ln+l
!5.4.43. - № - а) Ё
wj(yi)
Уі = а + (b — a) X1.
Соответствующие ортогональные многочлены:
-р- Тгп-пЫх). ^x
2«+ 1 2
Весовые коэффициенты:
2ч " 2л + 1* 25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
68?
!5.4.44. J In xf(x) dx = Y^ Wj(Xl) + Rn.
Соответствующие opToroTiajibHbie многочлены: многочлены, ортогональные с весом (— In л). Абсциссы: см. табл. 25,7. Вссовыс коэффициенты: см. табл. 25.7.
25.4.45. Г <г*Ах) dx=J2 w^ + R»' о
Соответствующие ортогональные многочлены: многочлены JTareppa Т.п(х).
Абсциссы: д-, — /-й нуль многочлена Ln(x). Вссовыс коэффициенты:
Xi
Wi = -
(« + I)2 IWUi)]2
(Значения Xi и м>\ см. в табл. 25.9.) Остаточный член:
(2л)!
25.4.46. ( е~х'/(х) dx = V) Wif(Xi) + Rn. -со 4 = 1
Соответствующие ортогональные многочлены: многочлены Эрмита Нп(х).
Абсциссы: Xi — /-й нуль многочлена Нп(х). Весовые коэффициенты:
_ 2W-V
И?І ~ HaEtf^(Xl)Ia '
(Значения Xi и щ см. в табл. 25.10.) Остаточный член:
Квадратурная формула Филона
25.4.47. ^ f(x) cos (tx) dx —
= А ^a(IA) ( fin sin (tx2„) — /o sin (Ix0)) +
+P(IA) Cs, + y(<A) Cm + — - Rn-
45 J
25.4.48. Csn - 2 /aicos (<*«)-
.= 0
- 4" [Ля COS ((*») + /? COS (IXo)].
По поводу некоторых трудностей, связанных с применением этой формулы, см. работу;Тикеу J. W. On Numerical, Approximation/Ed. R. Е. Langer. — Madison, 1959, p. 400.
25.4.49. C2,
= 2UA-1 cos (tejn).
25.4.50. S1w-I = J^/jfli sin (Dr2i-i).
.-=0
25.4.51. R, = — nA^'lfO+OtlA').
90
..« . n 1 , sin 26 2 Sins f
25.4.52. a(6) ---h---
0 20" 0"
I. 0а O3 J ' { O3 0а
Для малых 0 имеем
203 20* 20' 25.4.53. a -----H---
45 315 4725
3 26а 15 40і 105 20« 567
4 3 2Р 15 O4 210 6* 11340
I f(x) sin (tx) dx =
15.4.54. ^ /(л
= к |a(lA) (/„ cos (ijco) - /a* cos («,„)) +
- + Y^bm-I H--th Cgjl-! I — Rn.
45 I
25.4.55. Sm -Y^ fa sln (I«) ¦ 1
[/sw sin (IX2n) + /o sin (IXo)].
25.4.56. S2,-! = 2^/ai-i sin (Ixa!-i).
1
25.4.57. CJm =^/sfi1 cos (Ий-,).
Значения a, ?, у см. в табл. 25.11.
Повторные интегралы I1 Ii
.4.58. Л»-, A2 J/00 Ai =
0 0 0 о 688
И. ЙЙТЙРПОШЩИЯ. *Ш0ЛЁШ10Ё ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
25.4.59. ^ dt, ^ Ля-1 ... ^ dl, dli =
(п
МНОГОМГРНЫЕ КВАДРАТУРЫ Окружность круга Г: -]- у* - - Ii1
2иА J г
-— J^ f U cos — . A sm —1 + Oihitn-2). 2т \ т т J
Крут С: x' + f-Ч If
^ ^fU, у) dxdy = jh wtfix,, yt) + R. с
(Xt, yt) WI
(О, 0) 1/2 R - 0(А4)
(±А, 0), (0, ±h) 1/S
(xt, yt) w,
(±h?, ±A/2) 1/4 Л = O(h')
(XI, yi) Wt
(0, 0) 1/2
(±h, о) 1/12 R -= o;a')
(±A/2, ±(k/2)-fi) 1/12
xt, yt wt
(0, 0) 1/6
(±A, 0) 1/24 R = O(Iit)
(0, ±h) 1/24
(±hl2, ±h/2) 1/6
(xi, yt) Wt
(0, 0) 1/4
(± V2/3A, 0) . 1/8 R = 0(h•)
(± V1/6A, ±(A/2)- V2) 1/8 25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
689
(xi, >«) (О, 0)
(f
6 - Vfi , 2-кк
-A cos-
10 10
1/9
Уб-S, ¦ 1I 16 + л/б
---A sin- -
10 10 J 360
(,к = 1, ..., 10)
6 + ve , ItJc -A cos----
г io 1о ;
16 - yg
360 R - Oihw).
Квадрат *) S: M й А, Iyl =S Л 25.4.62. -L ^ у) dxdy = J^ »ЧЛ«. Л) + Л
(ж,,«) (0, 0)
4/9
(±А, ±А) 1/36 Я - O(Ai) (±А, 0) 1/9 (О, ±4) 1/9
*) Для таких областей, как квадрат, куб, цилиндр и т.д., являющихся декартовым произведением областей более низкой размерности, можно всегда построить кубатурные формулы путем «перемножения» формул меньшей размерности. Так, если
1 „
\f(x)dx*J^w,f(xt) o
— одномерная формула, то выражение
і і п
J $/(*, У) dx dy к Ё wi*lf<~x<< xI) о о ',У=1
является двумдрной формулой.
44 — ПОП ПРТ. R. А. ЛитКННЯ л H Кяпияжнт'
(*<, Уі)
(± л 4Ф, ±AVТ/з)
1/4
R = O(Aj)
(«, Уі) щ
(0, 0) 16/81 (±V(3/5)A, ± V(WA) 25/324
(0, ± V(3/5) А) 10/81 Л = O(Ae)
(± V(W) А, 0) 10/81
Равносторонний треугольник T Радиус описанного круга равен А.
25.4.63.
у) dy -
¦
- Ё иДач, J() + А
(?, уі) (0,0) (А, 0)
3/4 1/12
= O(As)
-(А/2, ±Ал/з/2) 1/12 690
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
У,) Wi
(0, 0) 27/60
(ft, 0) 3/60 С—А/2, ±А л/3/2) 3/60
(- А/2, 0) 8/60 (А/4, ±Ал/з/4) 8/60
Л = O(Aj)
(?, л)
(0, 0)
270/1200
(тн
(ИИ*. ((--=eHH
(т*.
±(U^I)V3a)
