Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
л = 16(4) 24 (8) 4S (16) 96, 2ID.
Таблица 25.5. Узлы квадратурной формулы Чебышева с равными весами
(2 < л < 9) ................................................ 714
R = 2(1) 7, 9, 10D.
Таблица 25.6. Узлы и взсовыз коэффлциенты квадратурной формулы Лобатто
(3 ^ я ^ 10)................................................ 714
п = 3(1)10, 8-10D.
Таблица 25.7. Узлы и весовые коэффициенты формулы интегрирования функций
с логарифмической особенностью (2 =S п < 4).............. 714
п = 2(1)4, 6D. 67r6
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Таблица 25.8. Узлы и весовые коэффициенты формулы интегрирования функций,
содержащих множитель п < 8) ...................... 715
к =0(1)5, п = 1(1)8, 10D.
Таблица 25.9. Узлы и весовые коэффициенты многочленов Лагерра (2 < 15) 717 п = 2(1) 10, 12, 15, 12D или 12S.
Таблица 25.10. Узлы и весовые коэффициенты квадратурной формулы Эрмита
(2 < Ж 20)............................................... 718
и = 2(1) 10,12,16,20, 13-15D или 13-15S.
Таблица 25.11. Коэффициенты квадратурной формулы Филона (0 ^ 0 < 1) .. 718 Є =0(0 01)0.1(0 1)1, 8D.
Литература .................................................................... 719
Специалисты по численному анализу имеют тенденцию накапливать математический инструмент, предназначенный для сложных и порой весьма специальных математических операций и требующий особых знаний для его применения. Из этого большого запаса имеющихся в наличии математических формул мы и произвели представленную здесь выборку. Надеемся, чго она окажется удачной, но, как и во всех кратких руководствах, в этом справочнике читатель может не обнаружить своих любимых формул и, наоборот, найти такие, которые, по его мнению, второстепенны.
Мы хотели бы дать примеры, чтобы проиллюстрировать приводимые формулы, но это, к сожалению, невозможно. Численный анализ является не только наукой, но частично также искусством, и поэтому в кратком справочном руководстве было невозможно указать, где и при каких условиях
целесообразнее применять те или иные формулы, а также
указать те вычислительные трудности, с которыми придется столкнуться при некритическом использовании формул. Имея это в виду, мы хотели бы прелое горечь «штателя против слепого и бездумного применения представленного здесь материала.
Обозначения:
абсииссы: х0 < X1 < ... ;
функции: /, g ... ;
значения функций: f(xt) — JufXxt) = //, где /\/,2), ... — 1-я, 2-я,... производные;
если абсциссы равноудалены, т. е. хг+1 — хt — A1 то /р = f(x0 + Ph) (р — не обязательно целое);
Rt Rn — остаточные члены.
25.1. РАЗНОСТИ
Односторонние разности
25.1.1. Д(fn) = Д. - ДІ = fn+i - fn,
Дд = Д«и ~~ А1« - 2/я+1 +fn,
д> = AUi - да=/«+з - з/«+а + з/»ц - fn,
ь = дій- д*-1=
Центральные разности
25.1.2. 8(/n+i/a) — Sn+іуг = %+i/s —fn+\ — fn>
Sl = 8?+lf3 - S^112 = 1 - 2/„ -I- fn-i, S«+l/a = - -"/re+2 — 3/»+1 4 3/» — Jn-i,
" ? c-i)' f 2t]/»i»-j.
,-0 У J J
та - ^j1 (-iy (2* + 1J/*^,
SflZ2 = если пик одинаковой четности.
Односторонние разности Xo /о
Д.
Xi /і
A1
Xa ft
д*
Xa /з
Д5
д»
Центральные разности X-I /-1
S-IJZ
Xo /о Sg
Вш 5U /i S|
Ss/a
Xg /s
25.1.3. ц(/„) -
Средине разности — (/»+!/г + /«-!/г).
Uo, Jfil
Uo, x1, x2]
Uo, .....
Разделенные разности
Л-Л
= х»],
xo — x1 _ іх», x1i - [хц x,]
[х...... Xfc-J — Ui,Xfc] 25.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
675
Выражение разделенных ралшетей через значения функции
25.1.5. [х„, X1.....х„] - V1 .
U
где
25.1.6. 71п(л) — (х — Хо) (х — Xi) ... (х — Xn) и х'п(х) — его производная.
25.1.7. тгЦхк) =
= (х* — X0) ... (хк - XK-l) (xfc — Xfc+1) ... (-VI. — Xn).
Пусть D — односвязная область с кусочно-гладкой границей С; точки г|(,..., zu — ее внутренние точки. Пусть f(z) — аналитическая п Г) и непрерывная и ? 4 С функция. Тогда
25.1.8. [z0l г,, ..., гп]
2т 5 "
№
с П (z - Zt) U-O
25.1.9. AS - А"/<">(5) (? < 5 < X,),
Интерполяционные формулы JIai ранжа
25.2.1. /(х) = J^. U(X)J-\ + Rn(X).
25.2.2. Ii(X) =
25.1.10. to, .V,..... хп]
п!А" и!
(х„< 1< Хп),
25.1.11. [Х-п, \-ц j j, ..., Afl, лп] =
А"(2л)!
25.1.12. р(х0, X1) .
Обратные разности
Xо - X1
Р,(Хо, X1, Xs) : Рз(Хо, X1, Xa, X,) =
р(.То, X1) - р(хь X1)
¦ + /.,
Р!(Хо, X1, X2) - Ps(X), Х„ X,)
- I- P(Xl, Xs),
р«(Хо, Xi, ..., X«) --
I P»-i(X«, .... ХП-]_) - pu-jtX!.....Xn)
25.2. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
+ P»-i(xi.....Хп-0.
"»С»)
(х - xt) -»(Xi)
_ (х — Хо) ... (х — Xi-l) (Х — Xu1)... (х — Хи) (Xi — Хо) ... (X1 — Xi.)) (Хг — Xi+I) ... (Xi — Хп)
Остаточный член интерполяционной формулы Лагранжа
25.2.3. Rn(X) — TZn(X) ¦ [.Wi, Xb ..., X», х]
fn+v?)
= 7Г»(х) • J-— (хо < 5 < Хп).
(п+\)!
25.2.4. I я,(х) I < (х* ~ max |/<"+1>(*)1.
(п + 1)!
25.2.5. Rn(Z) =
"»(г)
Л')
¦ dt.
2ти. J (( - z) (t - Z0) ... (г - z,) с
Здесь предполагаются выполненными условия 25.1.8.
