Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
155 - Vl5 1200
A - O(Aa)
155 + Vl5 1200
Правильный шестиугольник /f Радиус описанного круга равен А.
Дх, у) Л <fy -
— ft .Іги jJ
у V3A* jH1
= S »'</(*«> «) + Я
(?, и) (0,0)
21/36
(±А/2, ± А л/з/2) 5/72 (± А, 0) 5/72
Я - 0(А4)
(?, J7I) Wj
(0, 0) 258/1008
(± A Vl4/10, ±А^42/Ю) 125/1008
(±А,/І4/5, 0) 125/1008
R = O(Ae)
Поверхность сферы S: Xs -h ^s -h Za — Aa
= ич /(-V;, Z,) + Д.
(?, Уи zi) т
(±А, 0, 0) 1/6
(0, ±А, 0) 1/6
(0, 0, ±А) 1/6
R = O(h')25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
691
1/15
1/30
іхі, уи a)
(± -fifth, ± Vl/2/>, 0) ( ± -JTjlh, 0, ± -JTft h) (о, ± -JTfth, ± -JTftK) (± h, 0, 0) (0, ±h, 0) (0, 0, ±A) (xu Уі, її)
(± -JTfth, ± -JTph, ± Vi/3 h) (± -JTfth, ± V1T2A, 0) (± ^Tjlh, 0, ± JTjlh)
(0, ± -JTJlh, ± -JTJih) i±h, 0, 0) (0, ±K 0) (0, 0, ±h)
Сфера 5: T2 + / + za « A:
25.4.66.
R =. Oih')
27/840
32/840 R - Oih') 40/840
S
= 2 Wiftxh УІ, Ii) + Ii-
O(Iii)
Куб») С: I xl =S h, I у] S h, z| S h 25.4.67. і ^ f(x, у, z) dx dy dl =
= Z m^n' z^ + J
------- .-л- ч * ...1. __ ?t
*) См. сноску к формуле 25.4.62.
(Я, УІ, Ii) i±h, 0, 0) (0, ±h, 0) (0, 0, ±4)
Щ
1/6 1/6 1/6
R - Oih4)
360 25.4.69.
Z)dxdy dZ =
С
I- 496\fm + 128 ЕЛ -Ь ?// Ь 5 T + <W>
oh z)dxdydz=
С
= ^^2//-40^/,+ 16^ M + O(A6)1
где fm -/(Os О, 0),
fr - - сумма значений / в б точках, лежащих па середине расстояний между центром С и 6 его гранями, ff — сумма значений/в б центрах граней С,
gf0 — сумма значений /в 8 вершинах С, fe — сумма значений /в 12 серединах ребер С, У ^ ft — сумма значений / в 4 точках на диагоналях
каждой грани, лежащих на расстоянии — J 5h от центра
2
этой грани.
Тэтраэдр: S 25.4.70. у У. 2) Jx =
T
= ^S7"4" ^ S Л + шены 4"го поряди.
г
+ — T*^ / -I члены 4-го порядка, 60
где V — объем tf, *
fe — сумма значений функции в вершинах ь", Tj ^e ~~ °Умма значений функции в серединах ребер Ir5 Y^11 ff — сумма значений функции в центре тяжести граней Sfj
fm — значение функции в центре тяжести Яг.692
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
25.5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ*)
Четвертый порядок
УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА у' =/(.1:,.1') Формулы Эйлера
25.5.1. jfc„ = Jfc + Aji + O(If).
25.5.2. Jfctl = jfc-, + 2hy'„ + O(If).
Формула трапеций
25.5.3. Jfctl - у, + I Oitl - Jfc) + O(If).
Экетраполяционная формула Адамса
25.5.4. Jfctі - у» + — (S5j4 - 59^-j +
24
+ 37b-, - 9jiJ + O(At). Интерполяционная формула Адамса
25.5.5. Jfctl - у, + — (9уп1 + 19/. -
24
- 5jfc-, + Л-j) + O(At) ФОРМУЛЫ РУНГЕ—КУТТА
Второй порядок
25.5.6. /„+1 »c + ift + t, + O(A3)1
ki — hf(x», j„), ft, = A/(x„ + A, y„ + Ar1).
25.5.7. Jfctl - Jfc + A2 + O(Aa),
A1 = 4/(?,, j>„), Ara — А/|л-я + і A, j„ + і A1J •
Третий порядок
25.5.8. Jfctl = Jfc + - ki + - к, + - к, + O(Ai),
6 3 6
kl = hf(xn, Vtt), Aa = А/^Хя -I- -А А, + -А /:,) ¦ кя - А/(*„ + А, Jfc - Ai + 2А3).
25.5.9. jfc« - Jfc + A- A1 + I А» + O(A4)j
4 4
A1 = hf(xn, У»), Aj - A/j*„ + у A, j>„ + і A1) . А> == А/ + j А, j>„ + j Ajj ¦
25.5.10. j„tl = у, + ^S- + Al + + hi. + O(If),
6 3 3 6
A1 = h/(x„, Jfc), Ar2 = hf^xn + , Jfc + — ^ .
Aa = А/^„ + J* + -j) ' *« ~ + h- У« + *">¦
25.5.11. = 7» + -Ь- + 4- + — + O(A6)1
8 8 8 8
A1 = А/(х„, j>„), Aa - A/f*» + —, Jfc + — V
ІЗ 3 )
= J.-^+Azj.
A4 ¦= А/(*„ + А, Jfc + A1 - A2 + Ai).
Формула Гилла
25.5.12. Jfc+1 = J., + -Ajt1 + 2^1- |/A_j ft, +
+ 2(1 + І/і-J А, + A1) + O(As)1
A1 = hf(xn, Jn), *,-*/(*.+!¦ j..+f).
A3 - A/ (? + A, J., + ( - у + j/A.) A1 +
+И:Н
A4 = А/[ї» + A, J., - У І-ft, + [1 + У A-) А,) '
ФОРМУЛЫ ТИПА ПРЕДИКТОР-КОРРЕКТОР (П-К) Формулы Мвлва
25.5.13. П: j,,i+1 =
4А
= Jfc-з + у (2j4 - Ji-! + 2ji_a) + O(A5)1
К: Jfctl = jfc-a + у (j*-! + 4ji + Jitl) + O(If).
25.5.14. П: Jfctl = jfc-, + - (llj4 - 14?-!+
+ 26уі-г - 14j4-, + ll)i-4) + O(A7)1
*) Предупреждаем читателя о возможной неустойчивости, особенно при применении формул 25.5.2 и 25.5.13 (см. (25.11}, [25.12)).25.5. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
693
К: yn+i — уп-і + — №4ц + 32л + 45
+ ОД-, + 32.)?-, + 7л,-») + О(А')"
формулы с производным» высших порядков
25.5.15. П: j„+, =
- Уп-г + 3(7» - Уп~і) + *"0i - >¦;-,) + O(A1)1
A Aa
К: J>„+1 = у„ + - (А-1 + Ji)- — Otrt - У",) + O(As).
25.5.16. П: =
= J-,-. + 30? - Л_,) + ^ 04" + + O(At),
К: л+i - Л + Оі+і + Ji) - JJj U'w-i - Л) +
+ + О(А').
СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА у'=/(х, У, z), z' = g(x, У, Z)
Формула Рунге—Кутта второго порядка
25.5.17. ум = у. + - (кг + *,) + O(If),
2
*»и = z„ + і (г, + г2) + О(А'),
ki = hf(x», уп, z„), h = Аг(х», /я, Zn), к, = A/to, + А, у, + кг, zn + Ц, = AgUn + A1 уя + А:,, Zn. + /і).
Формула Рунге—Кутта четвертого порядка
25.5.18. =
- J>» + (А* + 2к, + 2к, + 4,) + O(As)1
г»« - г. + 4 (/, + 21, + 213 + « + O(As)1 6