Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
2 6 6
Формула Эверетта 25.3.14. Af(x0 + ph) «
. -/. + л - SLiieJJ4 + 81 -6 6 . V - 20p3 + 15p' + Юр - 6 + 5p4 - 15p' + 4 J, 120 120 1
25.3.15. hf„ « - f, + fi-
¦ і SfJ- -L 88 + — 8}.
6 20 30
Выражение разностей через производные
25.3.16. Д„ » АЛ + /J» + ?/<3> +
Л4 As
25.3.17. Д§ » AYJal + AYSal + — W + - W-
12 4
' 25.3.18. ДЗ ю A3ZS=' + - W + -ZS5'.
2 4
25.3.19. С4 ж A4ZS" + 2A6ZSs'-
25.3.20. Д8 » A8ZSw-
Частные производные
25.3.21.
UL» _ J.
2А
(А. о-Z-.. .) + о(»').
= — сл. і —/-і. і +/.. -і -/-., -о+от.
дх 4А
~ - Т, </'. • - 2/., о + А. о) + O(If).
Sxs A325.3.24.
ay... ^ і
8xs 12 If
25.3. дифференцирование I 25.3.29.
681
(-/,,. + 16/,.0 - 30/„,„ +
+ 16/-,.,-/-,..)+0(*).
1
(fx. 1-2/0.,+/-,.,+/,.0-
ЗА'
- 2/o., + /-,., + /,. -, - 2/„, -, + /_,. _,) + O(Kc). 25.3.26.
a*/.,. .. і
25.3.27.
(/,. ,-/,.-i -/-,.,+ /-,. -,) + O(Aa).
ay... _ ^I
8л: Sj> 2/i2
(/i,o+A.0+/0,.+/».-,
¦ г/,,,-/,.,-/-,.-,)+ O(Aa).
ay.,0
Sx1
г (Л о - *fu 0 + 6/., O - 4/-1. „ + /.„. „) + O(As).
• t •
- Vi, о - 2/-1.. - 2/o., - 2/0, -1 + 4/„, о) + 0(A!).
Оператор Лапласа
V'iio,. = (— + —)
la*» 9/J,.,
= -(«і. 0 + f0l 1 + u.
A2
0 + "0. -1 - 4«o, •) + O(Aa)'
VVo ¦
- [—60«., 0 + 16("1. O + U0. 1 + U-1,0 + U0. -,) — — (?. 0 + "0, 3 + U-2. P + Щ. _3)] + O(Ili). Бигармоннчссішн оператор
(a4« , a4" a4» 1
V4U0 0 =--h 2-+-
Ux4 aw 0/ Jo, 0
- [20n., о - 0 + H0,1 + м-,. 0 + U0. -1) +
I4
+ Vui. 1 + U1, _i + u_i,, + 11-,, -1) +
+ («о. з + »3. 0 + "-a. 0 + ».. -з)] + O(At).682
25. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ, ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ VL ИНТЕГРИРОВАНИЕ
25.3.33. V4Md1 о = ^, ї —(«о, з + Ио, -з + "я. о + «-3, о) + 6 Iti
+ 14<и0, г + «о, -а + «а, о + И-а. о) —
— 77(и0,1 + Wo, -і т- Hi. q + M-i, о) + + 184oo, о + 20(и,. 1 + Ui. + и-1. і + и-!, -і) -
— ("і. а + "а. і + UU -а + «а, -1 + "-1. 2 + «-2. і -г
+ «-1. -! + U-2. -l)l + 0(А4).
25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Формула трапеций ^ fix) dx -
= у (Л + fi) - I ^ С - Л) (? - <)/'(') Л -
~|(/»+/i>- YJ л О (*„<?<*,).
25.4.2. \ /W dx -
= * I Y +/¦ + - + А-
!Tlfl3
/ш
Остаточный член формулы трапеций для периодических функций
Если/(X) — периодическая фуігкщтя и имеет к непрерывных производных и если интеграл берется на интервале, равном периоду, то остаточный член R формулы трапеций удовлетворяет неравенству
С
25.4.3. I R I ^ —, где C= const,
тк
Модифицированная формула трапеций
25.4.4. ^ Ax)dx~
+ /і + ... + fm-i
L2 2 J
+ — 1-М + A +U-I -M + W
Формула Ошпсона
<rt
25.4.5. |/ИЛ»і[/0+4/1+Д +
+ I ^ (Л -DHxi -w%) di +
IfiXi - t)fi'1 (І) dt -
= - if«+ Vi + /J- ~ /<*>(«.
25.4.6. L fix) dx =
= J W + 4(/, + /s H ... r An-i) +
+ VA +А + - +/-1 -
Формула Эйлера — Маклорена
25.4.7. ^ f{x)dx~
= +А +/а + +/»-і + у] ~
в Я ,.Jjafc
- ~ л2(/; - /у - - - 7ГТ- Waif-1) - /Pfc-ijI + 2! (2/tf!
R2k = max , і * В < t>.
(2*+2)!
(Числа Бернулли B2H см. в гл. 23.)
Если /I2^+2I(Jr) и не меняют знак на интер-
вале X0 < X <: х„, то I меньше, чем первый отброшенный член. Если /<-зк+''Хх) не меняег знак на интервале Xn < Х<ХЮ, то I J?2tl меньше, чем удвоенный первый отброшенный член.
Формула Лагранжа
ь
25.4.8. [ f(x) dx = У) Щп)(Ь) - L(»\a)) f\ + Rn
а * = °
(см. 25.2.1).25.4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ
683
25.4.9. LJ-1M » —- ( A= С WO dt.
^i(JC1) J I - Xi J
25.4.10. Я, - \ Mx)/<т,ЧШ) dx.
_1__
(п + 1)!
Равноотстоящие абсциссы
25.4.11. к Дх) dx
1 ^ , (-O'
Л(и — i)! J X — Xi
dx + Rn.
*от+і [ о J
25.4.12. ( Дх) dx = h ? A,(m)ft + Я».
*- — [тЧ
(Значения At(m) см. в табл. 25.3.)
Формулы Ньютона — Котеса (замкнутый тип) (Формулы трапеций и Симпсона см. в 25.4.1—25.4.6.)
.4.13. ^
25.4.13. У Дх) dx =
25.4.14. (Формула Боде)
( Дх) dx = ^ (7/„ + 32/, + 12/, + J 45
+ 32/, + Ift) -
8/<">(5) А' 945
4.15. J
25.4.15. \ Дх) dx .
; (19/. -I- 75/, + 50/, + 50/, +
+ 75/, + 19/,) -
275/(1')(? У 12096
25.4.16. к Дх) dx =
-(41/,+ 216/, + 27/,+ 272/,+
+ 27/, + 216/, + 41/,) -
9/(4(? ft"
25.4.17. ^ Дх) dx
Ih
17280
(751/. + 3577/, -I- 1323/, + 2989/, + 2989/, +
+ 1323/, + 3577/, + 751/,)
8183/0(1) A6 518400
^ f(x)dx-
Ah
(989Л ; 5888/, - 928/, +
14175
+ 10496/, - 4540Ift + 10496/, - 928/, +
+ 5888/, I 989/,)----Г"'8 /<")(0 А".
467775
25.4.19. \ Дх) dx = {2857(/, + /,) +
J 89600
15741(/, +/,) + 1080(/, h /,) + 19344(/, +/,) +
+ 5778(/. -І-/,)} - /<")© А11.
14620
25.4.20. к/(х) dx =
299376
{16067(/, + /,о) +
+ 106300(/, +/,) - 48525(/, +/,) + ' + 272400(/, +/,) - 260550(/, +/,) + 427368/,} 1346350
[326918592
Формулы Ньютона —Котеса (открытый тип)
25.4.21. (/(*>,* (/,-/,)+
J 2 4
'/I14OA1'.
!5.4.22. J
25.4.22. \ Дх) dx --
-ikIlf f ilfl I 2S/'"(S>*5
= у (2/1 -Л + 2/.) + -
25.4.23. \ f(x)dx-