Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Используя в качестве стандартной формы 17.4 74, получим
Zl 3
j (24 - 12/ + 2га - г Vа Л = о
2 2
cos 9i = — . 9, == 70.52877 93°,
cos 9а = ~ . фа = 60е.
Пользуясь табл 17.5, для исходного интеграла будем HbfeTb
-{!.510344 - 1.212597] =0.148874. ПРИМЕРЫ
419
Пример 12. Используя преобразование Ландена вычислить
И
1 1-1/2 --- SinaOl ¦«№ с 5D.
Первый метод. Понижающее иреобрзювание Ландена
Используя 17.5.1, получим
?
1 + sin Oj = -
« 1.071797,
1 + CO8 30e
COS «і = [(1 - sin «і) (1 + sin CC1)]1'8 = 0.997419, 2
1 + sin ctg =
1 + cos CC1
= 1.001292; cos «j = 0.999999,
1 + sia a8 =
1 + cos o8
Таким образом, с учетом 17.5.7, для исходного интеграла получим
F(90u\30°) =*
= - (1.071797) (1.001292) = 1.68575 с 5D. 2
Второй метод. Повышающее преобразование Ландена
Используя 17.5.11 при O0 =30°, <ро =90°, получим
1 + cos Ctfl^1 = 2/(1 + sin а„).
1 0.33333 333 0.94280 904
2 0.02943 725 0.99956 663
3 0.00021 673 0.99999 998
sin (2<pi — 90°) — sin 30°, <pi = 60°, sin (2<p8 — = sin аг sin <pi, ^J = 57.367805°,
Sin (2cpa — 9a) = Sin aa sin фг, 93 = 57.348426",
sin (294 — 9з) — sin a3 sin 93, 94 = 57.348425° = Ф.
Пользуясь формулой 17.5.16, окончательно найдем
2 2 2
f(90°\30o)=
1.5 1.94280904 1.99956 663
2
-in tg
К"!)-
1.99999998 = 1.37288 050 In tg 73.674213° =
= 1.37288050(1.22789 30)= 1.68575 с 5D. Пример 13. Вычислить значение F(89.5°\89.5O).
Первый метод
В этом случае интерполяция в табл. 17.5 невозможна. Используем формулу 17.4.13, что дает
F(89.5°\89.5°) = F(90°\S9.5°) - F(+\89.5°),
ctg ф = cos a tg 9 — sin 89.5° = cos 0.5°, ф - 45.00109 084°.
По табл. 17.5 находим ^(ф\89.5°) - 0.881390.
Интеграл
F(90°\89.5°) = К{sin' 89.5°) -
- JC(0,99992 38476) = 6,12777 88. Тагам образом, F(89.5°\89.5°) = 5.246 389.
Второй метод
По разрешенной относительно cos an+i формуле 17.5.11 (повышающее преобразование Ландена) получим
cos «і ¦» (1 - sin 89.5°) / (1 + sin 89.5°) =
= 0.00001 90388,
sin a, - t(l - cos U1) (1 + cos aOl1'» = 0.99999 99998,
cos O2 ft; 0,
sin Og » 1.
Формула 17.5.12 дает
sin (2фі - 89.5°) - sin 89.5° sin 89.5° = 0.99992 38476,
2т, - 89.5° = 89.2929049°, = 89.39645 245°,
sin (2фа — фі) = sin K1 sin ^1, Epa. = 89.39645 602°,
sin (2cp3 — фа) = sin фі, 9s = фа = Ф.
Используя формулу 17.5.16, получим
F(89.5°\89.5°) =
= f-!-V'2ln(tg 89.69822 801°) = 5.24640.
1.0.99996 1923 Ij
Пример 14. Вычислить z
J [(9 - г*) (16 + i»)V'8 it с 5D.
По формуле 17.4.51 данный интеграл запишем в виде 2
С dt
(16+ (*)V(»-0(16 + 0
= S ~ 5 ~ SO 1^l4c0 ~
sin et= — . a = 36.86990°, 5
sin фі = Y ft, 91 = 48.18968°,
sin ф. -- -.=-. фа е. 23.84264°.
3 Vn 420
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Интерполяцией в табл. 17.6 (по двум переменным) найдем значения Е(9i\«) и Я(фа\<*), и тогда искомый интеграл будет равен
— 10.80904 - 0.41192] = 0.00496.
Формула Симпсона с 3 ординатами дает
— [0.00504 + 0.01975 + 0.005] = 0.00496. 6
Пример 15. Вычислить п(±: 45°\30°J =
"" -1 -1/8 = ^ Jl - sin2 oj"'(і - J Sitfej"1 8 </8 с 6D.
о
Здесь имеет место случай (I) интеграла третьего рода, так как 0 < в < Sina а. Воспользуемся формулой 17.7.3 при
„ = -L. ф = 45°, а = 30°, 16
s = arcsin (n/sin2 а)1'2 = 30°, ? = f(30°\30°) I K(30°) = 0.49332 60,
, = 2 F(45»\30°) / «30°) = 0.74951 51,
S1 = (16/45)1'2, q = 9(а) - 0.01797 24. Далее,
П(±; 45°\30°J es
_(WW(Wj_ib*sk±i> + _m Л. 1 2 &4(v-?) ?,?) J
Используя g-ряды 16.27 для 5-функций, найдем П ; 45°\30°) - (16/45)1'2 {-0.02995 89 +
+ (1.86096 21) (0.74951 51)} -- 0.813845.
Для сравнения интерполяцией в табл. 17.9 по четырехточечной формуле Лагранжа получим
45°\3uj -0.81385. іслить по nfi\30°) е 6D. :м
П 30°j = AT(30°) + (16/45)1'2 ЛГ(30°) Z(c\30°),
Пример 16. Вычислить полный эллиптический интеграл
I 16
По формуле 17.7.6 имеем
где z = arcsin (и/sin2 а)1/а = 30°. Используя табл. 17.2 и 17.7, найдем
:нтерпояяцщей в їжа получим
П J-L^ 30°J =1.74302.
17.
n(|;45°\30°J =
*/4
Для сравнения интерполяцией в табл. 17.9 по пятиточечной формуле Лагранжа получим
Пример 17. Вычислить
db с 6D.
Здесь имеет место случай (111) шп еграла третьего рода, так как sin2 а < л < 1. Воспользуемся формулами этого раз-дела и формулами 17.7.10 при п =- 5/8, "ґ — 45°, а = 30°,
с = arcsin [(1 - в) / cos' а]1/а =. 45°,
В - — f(45°/60°) / ЛГ(30°) - 0.79317 74, 2
, = Л- f(45°\30°)/*T(30°) = 0.74951 51, 2
Ss = (40/9)"2, 5(a) = q = 0.01797 24. Далее, согласно 17.7.11
" (f' 45044300J = (4°/9)'" P1 - 4I"1) -
= 2.10818 51 {0.55248 32 - 4(0.03854 26) X (0.74951 51)} =
= 0.921129.
Для вычисления X и [Л применялись формулы 17.7.12 и 17.7.13.
Для сравнения интерполяцией в табл. 17.9 по четырехточечной формуле Лагранжа получим
П (1; 45°\30°J = 0.92113. 1 числить по:
l(f\30°Jc5D. імеем
П (4\30°J = /?(30°) + і j/f [1 -Л„(Є\30°)І, где е = arcsin [(1 — о) / cos2 a]I/8 = 45°. Пользуясь табл. 17.2 и 17.8, получим
