Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
aV + Vf
5(13 +
dt
+ a2) ((I3 + a3) Qf - I2)]"2
(a3 + 43)1'1
Г_(i3 + a3) dt
J [(I3 + a3) (ft3 - I5]
J 7.4. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
411
Некоторые важные частные сл}чаи
Столбцы « cos ф » содержат подстановки {например, cos q>
17.4.53.
З а +1
г")1«
17.4.54.
*
f dt
ЛІ + t'f" о
17.4.55.
¦ft ) (<' - !)"¦ і
17.4.56.
=c—?-
V2 З (1 - <4)1'2
x4- 1
Xs+ 1 кой форме.
. приводящие данные интегралы к тригонометричес-
Зі,. CO»,
17.4.57.
Г Л X-1-V3 15°
3 (г3 - I)'" * - і + Уз
17.4.58.
Г dt Уз + 1 - X 15°
3d" - Dln Уз - 1 + X
17.4.59.
Г dt Уз - 1 + X 75°
3(1 _(»)V> Уз + 1 - X
17.4.60.
f dt 1 - Уз -X 75°
3 (і - eff 1 + Уз - X
Для приведения к тригонометрической форме интегралов ^ — . где F - Plf.і — многочлен третьей степени'
v р р - « - &) (/ - Р>) (/ - M
С действительными корнями ?i > ?? > P3, имеем КОЭффи-циенты
17.4.61. X = - (Р, - ?,)1« m = sms «
Pi - Pa > в'
mi = COsi«
?l-Рз
H подстановки
17.4.62.
«Ф\х) P2 -Р»
17,4.63.
F(<p\S) С05, (Pi-PsXX-P1,) (?a-?.) (Pi-X)
17.4.64.
в. ¦ • X-P1 Sin1 Ф = -— X-Pa
17.4.65.
да
- t А
І
17.4.66.
17.4.67.
dl__ T=sP
17.4.68.
и,
17.4.69.
Si
л*
3 -J-P
F( ф\сс)
F(T\(90°-*°))
F(<f\(90°-«.'))
Яф\(90°-<|)
?.-x
. (P1-P1)(X-P8)
(?i ?a) (x P з)412
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Для приведения к тригонометрической форме интегралов ' где ^ ^ jpW = ^3 + aifS + a2l + ('s имеет единственный дейсгвотельный корень t — ?, имеем коэффициент, выраженные через P it) и l'"(t) при t -- ?:
17.4.70. X2 ^ [Р'ф)]1/г,
1 Р"<2>) 8 [/"(?)]1'2
и подстановки
17.4.71.
} * НЧ\*) Ji1 - (х - р) COS Ф = ---— У? + (х - ?)
17.4.72.
Л-тг F(,p\«) COS (j _(x-?)~ >.' (X - ?) + if
17.4.73.
.к-и-р «Ф\(90° - «")) COS ® -X)-(? - x) +
17.4.74.
*С * J V--P F(f\(90° - «")) COS ^f-I?- X) ¦>? + (? - X)
17.5. преобразование ландена
Понижающее преобразование Ландена *) Пусть зсп и «л ц — два модулярных угла такие, что 17.5.1. (1 + sin ссв+і) (1 + cos а„) = 2, CCtlfl < ая,
две соответствующие амплитуды такие,
s cos ос» tg <рп, frn-i > 9».
и пусть и Фп+і что
17.5.2. tg(T,„
Таким образом, переход от я-го шага к (и + 1)-му ведет к умзньиинию модулярного угла и увеличению амплитуды. Многократным применением преобразования 17.5.1—17.5.2 модулярный угол можно сделать настолько малым, что становится возможным использование формулы 17.4.19.
Если оо = а, то после применения понижающего пре-образоваттия Ландена будем иметь
17.5.3. F(<p\a) = (1 + cos a)-1 Яфі\«і) =
= -I (1 + sin X1) /(<pi\ai),
17.5.4. F(tpV) - 2 я П (1 + sin a,) f(?ffl\a„)
(F(9n\an) * ?« при a„ « 0),
17.5.5. F(?»\k) = ФП (1 + sin «»),
17.5.6. Ф == Iim — F(tp„\a„) - Iim .
я-»-® 2n 2rt
17.5.7. K^F ^vj = уП0 + 8Іп
*) Здесь используется модулярный угол a, так как он является входным аргументом приведенных ниже таблиц. Все формулы, езязатшые с преобразованием Ландена, могут быть также выражены через модуль к — туг — sin a и его дополнение к' = nil'2 — cos a.
17.5.8. F(9\«) = In-lKQi
17.5.9. ?(?\«) -
= f(<p\a) Fl —- sin3 « (1 + — sin Oti -f
L 2 I 2
4--Y sin K1 sin O3 -f ...
.jj + sin « -i (sin O1)1'* SU1 Ipi +
- (sin «! sin aa)1/s sin фа +
]¦
7.5.10. E =
= K fl —- sin2 a [ 1 + — sin «x -b — sin ai sin «•+
L 2 \ 2 28
1 K1 sin OCs sin K3 -b .,.jj ¦
28
Повышающее преобразование Ландена Пусть On и «я+1 — два модулярных угла такие, что
17.5.11. (! + sin ая) (1 + cos «я+1) = 2, ая+1 > <х„,
и пусть <ря и две соответствующие амплитуды такие,
что
17.5.12. sin (29д+1 - <р„) = sin sin <ря+1 < <ря.
Таким образом, переход от я-го шага к (я + 1)-му ведет к увеличению модулярного угла и уменьшению амплитуды.
Многократным применением преобразования 17.5.11, 17.5.12 модулярный угол можно сделать настолько близ ким к я/2, чго становится возможным применение формулы 17.4.21.
Если a о = а, то после применения повышающего преобразования Лаодена будем иметь
17.5.13. F(9\a) = 2(1 + sin «Г1 -FtelXoc1),17.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ТРЕТЬЕГО РОДА
413
17.5.14. f(<p\«) - 2» IHl + bin a,)"1 F(9»V»),
17.5.15. F(<p\«) - П^І + cos =c,)
17.5.16. f(T\«) =
Г Л ¦ l1'2 , . Clt , фї
= j^cosec к sin OCgj / In fg 2 J '
17.5.17. Ф - lim
В формулах 17.5.14 и 17.1t.15
Дф»\«») « In tg + -^2J при <t„ я ¦j •
Окрестность прямого угла (см. также 17.4.13)
Если амплитуда 9 и модулярный угол а близки к тс/2, то интерполяция в таблицах !:''".• ¦/¦) затруднительна В этом случае может быть использовано преимущественно . повышающее преобразование Ландена (см. пример 13) или понижающее преобразование Ландена (см. пример 12).
17.6. процесс арифметико-геометрического среднего
Начиная с заданной тройки чисел (й0, Ь0, с ,), определяем последовательно (fli, 6ь ct), (tis, b>. c2),.,., (aN, bM, <\.) в соответствии со следующей схемой арифметико-тсометри-ческого среднего: