Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Абрамович М. -> "Справочник по специальным функциям" -> 246

Справочник по специальным функциям - Абрамович М.

Абрамович М. Справочник по специальным функциям — М.: Наука, 1979. — 832 c.
Скачать (прямая ссылка): spravochnikpospecialnimfunkciyam1979.pdf
Предыдущая << 1 .. 240 241 242 243 244 245 < 246 > 247 248 249 250 251 252 .. 480 >> Следующая


aV + Vf

5(13 +

dt

+ a2) ((I3 + a3) Qf - I2)]"2

(a3 + 43)1'1

Г_(i3 + a3) dt

J [(I3 + a3) (ft3 - I5]

J 7.4. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА

411

Некоторые важные частные сл}чаи

Столбцы « cos ф » содержат подстановки {например, cos q>



17.4.53.

З а +1

г")1«

17.4.54.

*

f dt

ЛІ + t'f" о

17.4.55.

¦ft ) (<' - !)"¦ і

17.4.56.

=c—?-

V2 З (1 - <4)1'2

x4- 1

Xs+ 1 кой форме.

. приводящие данные интегралы к тригонометричес-

Зі,. CO»,
17.4.57.
Г Л X-1-V3 15°
3 (г3 - I)'" * - і + Уз
17.4.58.
Г dt Уз + 1 - X 15°
3d" - Dln Уз - 1 + X
17.4.59.
Г dt Уз - 1 + X 75°
3(1 _(»)V> Уз + 1 - X
17.4.60.
f dt 1 - Уз -X 75°
3 (і - eff 1 + Уз - X

Для приведения к тригонометрической форме интегралов ^ — . где F - Plf.і — многочлен третьей степени'

v р р - « - &) (/ - Р>) (/ - M

С действительными корнями ?i > ?? > P3, имеем КОЭффи-циенты

17.4.61. X = - (Р, - ?,)1« m = sms «

Pi - Pa > в'

mi = COsi«

?l-Рз

H подстановки

17.4.62.
«Ф\х) P2 -Р»
17,4.63.
F(<p\S) С05, (Pi-PsXX-P1,) (?a-?.) (Pi-X)
17.4.64.
в. ¦ • X-P1 Sin1 Ф = -— X-Pa

17.4.65.

да

- t А

І

17.4.66.

17.4.67.



dl__ T=sP

17.4.68.

и,

17.4.69.

Si

л*

3 -J-P

F( ф\сс)

F(T\(90°-*°))



F(<f\(90°-«.'))

Яф\(90°-<|)



?.-x

. (P1-P1)(X-P8)

(?i ?a) (x P з) 412

17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ

Для приведения к тригонометрической форме интегралов ' где ^ ^ jpW = ^3 + aifS + a2l + ('s имеет единственный дейсгвотельный корень t — ?, имеем коэффициент, выраженные через P it) и l'"(t) при t -- ?:

17.4.70. X2 ^ [Р'ф)]1/г,

1 Р"<2>) 8 [/"(?)]1'2

и подстановки

17.4.71.
} * НЧ\*) Ji1 - (х - р) COS Ф = ---— У? + (х - ?)

17.4.72.
Л-тг F(,p\«) COS (j _(x-?)~ >.' (X - ?) + if
17.4.73.
.к-и-р «Ф\(90° - «")) COS ® -X)-(? - x) +
17.4.74.
*С * J V--P F(f\(90° - «")) COS ^f-I?- X) ¦>? + (? - X)

17.5. преобразование ландена

Понижающее преобразование Ландена *) Пусть зсп и «л ц — два модулярных угла такие, что 17.5.1. (1 + sin ссв+і) (1 + cos а„) = 2, CCtlfl < ая,

две соответствующие амплитуды такие,

s cos ос» tg <рп, frn-i > 9».

и пусть и Фп+і что

17.5.2. tg(T,„

Таким образом, переход от я-го шага к (и + 1)-му ведет к умзньиинию модулярного угла и увеличению амплитуды. Многократным применением преобразования 17.5.1—17.5.2 модулярный угол можно сделать настолько малым, что становится возможным использование формулы 17.4.19.

Если оо = а, то после применения понижающего пре-образоваттия Ландена будем иметь

17.5.3. F(<p\a) = (1 + cos a)-1 Яфі\«і) =

= -I (1 + sin X1) /(<pi\ai),

17.5.4. F(tpV) - 2 я П (1 + sin a,) f(?ffl\a„)

(F(9n\an) * ?« при a„ « 0),

17.5.5. F(?»\k) = ФП (1 + sin «»),

17.5.6. Ф == Iim — F(tp„\a„) - Iim .

я-»-® 2n 2rt

17.5.7. K^F ^vj = уП0 + 8Іп

*) Здесь используется модулярный угол a, так как он является входным аргументом приведенных ниже таблиц. Все формулы, езязатшые с преобразованием Ландена, могут быть также выражены через модуль к — туг — sin a и его дополнение к' = nil'2 — cos a.

17.5.8. F(9\«) = In-lKQi

17.5.9. ?(?\«) -

= f(<p\a) Fl —- sin3 « (1 + — sin Oti -f

L 2 I 2

4--Y sin K1 sin O3 -f ...

.jj + sin « -i (sin O1)1'* SU1 Ipi +

- (sin «! sin aa)1/s sin фа +



7.5.10. E =

= K fl —- sin2 a [ 1 + — sin «x -b — sin ai sin «•+

L 2 \ 2 28

1 K1 sin OCs sin K3 -b .,.jj ¦

28

Повышающее преобразование Ландена Пусть On и «я+1 — два модулярных угла такие, что

17.5.11. (! + sin ая) (1 + cos «я+1) = 2, ая+1 > <х„,

и пусть <ря и две соответствующие амплитуды такие,

что

17.5.12. sin (29д+1 - <р„) = sin sin <ря+1 < <ря.

Таким образом, переход от я-го шага к (я + 1)-му ведет к увеличению модулярного угла и уменьшению амплитуды.

Многократным применением преобразования 17.5.11, 17.5.12 модулярный угол можно сделать настолько близ ким к я/2, чго становится возможным применение формулы 17.4.21.

Если a о = а, то после применения повышающего преобразования Лаодена будем иметь

17.5.13. F(9\a) = 2(1 + sin «Г1 -FtelXoc1), 17.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ТРЕТЬЕГО РОДА

413

17.5.14. f(<p\«) - 2» IHl + bin a,)"1 F(9»V»),

17.5.15. F(<p\«) - П^І + cos =c,)

17.5.16. f(T\«) =

Г Л ¦ l1'2 , . Clt , фї

= j^cosec к sin OCgj / In fg 2 J '

17.5.17. Ф - lim

В формулах 17.5.14 и 17.1t.15

Дф»\«») « In tg + -^2J при <t„ я ¦j •

Окрестность прямого угла (см. также 17.4.13)

Если амплитуда 9 и модулярный угол а близки к тс/2, то интерполяция в таблицах !:''".• ¦/¦) затруднительна В этом случае может быть использовано преимущественно . повышающее преобразование Ландена (см. пример 13) или понижающее преобразование Ландена (см. пример 12).

17.6. процесс арифметико-геометрического среднего

Начиная с заданной тройки чисел (й0, Ь0, с ,), определяем последовательно (fli, 6ь ct), (tis, b>. c2),.,., (aN, bM, <\.) в соответствии со следующей схемой арифметико-тсометри-ческого среднего:
Предыдущая << 1 .. 240 241 242 243 244 245 < 246 > 247 248 249 250 251 252 .. 480 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed