Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
417
По 17.3.19 получим
In ^-J = ItiJte J = ^2/10.37324 1132 = 0.95144 84701,
Вычисление q также можно выполнить С применением формулы 17.3.20 или по табл. 17.1.
Пример 6. Найти т с 10D при K'jK = 0.25 и К'\ K= = 3.5. Пользуясь формулой 17.3.15 при К'IK = 0.25 можно записать итерационную формулу
m(0+i) в і _ ібе-4* схр [-TsL(m<»>)IK'(mW)].
Используя табл. 17.1 и 17.4 и итерационную формулу, получим
И М(Я1
0 1
1 0.99994 42025
2 0.99994 42041
3 0.99994 42041
Таким образом, т =0.99994 42041.
Пользуясь формулой 17.3.16 при К'\К = 3.5, можно записать итерационную формулу
mcn+i) = 1бе-8.БП ехр [-7їЦт[й,)№<(Я>)] и получить
» «<»»
0 О
1 0.00026841 25043
2 0.00026837 65
3 0.00026837 65
Таким образом,
т =-- 0.00026 83765.
Приведенные итерационные формулы в комбинации с табл. 17.4 вспомогательной функции L(m) дают возможность расширить табл. 17.3 в области 3 в К'!К <. 0.3.
Пример 7. Вычислить с 5D эллиптическую функцию Якоби Sil (0.7534210.7), используя табл. 17.5.
Здесь
т = sin® а = 0.7, а = 56.789089°, sn (0.753421 0.7) = sin <р, где <р определяется из уравнения
?(<р\5б. 78 9089°) = 0.75342.
Просмотр табл. 17.5 показывает, что <р лежит между 40° и 45°. Из этой таблицы выписываем
X 56° 5В° SU0
35° 0.63803 0.63945 0.64085
40° 0.73914 0.74138 0.74358
45° 0.84450 0.84788 0.85122
50° 0.95479 0.95974 0.96465
Отсюда интерполяцией по а получаем таблицу
Г(9\56.789089°):
ф F А A1 А,
35° 0.63859
10244
40° 0.74003 437
10581 72
45° 0.84584 509
11090
50° 0.95674
Грубая оценка теперь показывает, что р лежит между 40° и 41". Поэтому прямой шгтерполяциеи в последней таблице найдем
Ф ^(ф \5б.789089°)
40.0° 0.74003 40.5° 0.75040 41.0° 0.76082
Отсюда с помощью обратной лилейной интерполяции получим
> = 40.5° + 0.5°
' 0.75342 - 0.75040 ' . 0.76082 - 0.75040 .
и, следовательно, sin ? = 0.65137 = sn (0.75342! 0 7). Зі от метод интерполяции по двум персменпым для нахождения sn («Im) дается как иллюстрация. Другие более непосредственные методы, например метод арифметико-геомзтпического средиего, описанный в 17.6 и проиллюстрированный в гл. 16, являются менее трудоемкими.
Пример 8. Вычислить
, [(2t2 + 1) (f2 - 2)]-1'8 dt.
Первый метод. Сведение к стандартной форме н интерполяция по двум переменным
В качестве стандартной формы можно использовать формулу 17.4.49, что дает
V5 )l(2i" + 1) (/« - 2)]"1'2 dt = 2
-Ul
'jrVH)
(f! - 2)
VR)
(Is - 2)
= f(9i\«) - f(ft\«), где Oi = 1/2, У = 2, ctg X b/u = 2, откуда sin1 « = 1/5; cos <pi - Цх -- -Д/3, cos 9, =- bjx = л/2/2.
27 ~ под ред. В. А. Диткина, Л. Н. Кармазиной 418
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Таким образом,
а = 26.56505 12°, 91 = 61.87449 43°, 9» - 45е.
Интерполируя по двум переменным ф и « в табл. 17.5, вайдем
F(1>i\«) = !»115921, = 0.800380.
Таким образом, искомый интеграл равен 0.141114.
Второй метод. Численное интегрирование
Формула Симпсона с II ординатами с шагом 0 1 для заданного интеграла дает 0141117. Пример 9. Вычислить
4
{[(«"-2) (I2-A)Y1'4L
Первый метод. Сведение к стандартной форме и интерполяция но двум переменным
Здесь можно использовать в качестве стандартной фор* мы 17.4 48, замечая при этом, что а2 — 4 и Ь- — 2. Гогдд
$1(^-2)(^-4)}-1'8 Л- j -J
- ^ lF(<?i\*) - Пъ\с01
где sin л — bja = ^2/2, sin 91 «= а/х = 2/2 = 1, sin <р2 = = а/лг = 2/4 = 1/2, те.«= 45°, P1 = 90°, 92 = 30°. Интегралы Z-(CpiV) = Д90°\45°) и f'(?a\«) Д3йе\45°) найдем интерполяцией в табл. 17.5. Таким образом, окончательно имеем
4
J [(і* - 2) (г - 4)р'г dt = 2
= — [1.854075 - 0.535623] = 0.659 226.
Bropoii метод. Численное интегрирование
Заданный интеграл является несобственным, так как подынтегральная функция имеет особенность вида [8(/ — 2)]_J/- при t — 2. Для численного интегрирования необходимо выделять особенность, те. представить интеграл в виде
j [(<* - 2) (Iі - 4)Г"Л - + |(8(/ - 2)]-1'2 dt,
где
т = [(г - 2) (га - 4)]~1/а - [8(/ - 2)]~1'а. Так как Iim f(t) = 0, то положим /(2) — 0. Теперь ий-м
4
тетрад J/(<) dt можно вычислить по одной из формул 2
численного интегрирования.
Поскольку 4
j[8(r - 2)]-1'?/- J^L (t - = 1,
то
4
1 + J ДО dt = I - 0.340773 = 0.659227. 2
Пример 10. Вычислить
и = С (*8 - Ix + б)"1'3 dx. 17
*s — 7л -f 6 = (х — 1) (х — 2) (х +3). Используем стандартную форму 17,4.65 при ?, - 2, ?j = 1, ?3 = -3. Следовательно, т = sin2 а. 4/5, X = ^5/2, cos4 9 = 3/4. Тогда а = 63.434949"» 9 = 30°. Пользуясь табл. 17.5, найдем
и = 2(5)-1'2 f(30°\63.434949°) =
- 2(5)-1'8 (0.543604) = 0.486214. Рассматриваемый интеграл записан в форме Вейерш-трасса, откуда 17 rJ> 28, —24j (см. гл. 18).
Пример 11. Вычислить W
J (24 - 12/ + 2?- (Vа Л. о
Имеем
24 - 12/ Ь 2/я — г3 = -U - 2) (t* + 12) = -P(i).
Так как P(t) имеет единственный действительный корень, то в соответствии с 17 4 74 при P(t) = Г3 — 2Iі + 121 — 24 ? = 2 имеем Р'(2) - 16, Р'(2) = 8, \ = 2 и m = sin2 о = = 1/4, а - 30°.
