Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
17.6.1.
O1 - - Iaa + io) 4i = CeA)1'' oj--j (яі + si) і, - (??)1"
- (a„-i + Ья-1) Sx- =
сі - — («о - w 2
Cs = - (? - « 2
ся - — (Uir-I - і>л--і).
Процесс оканчивается па Ar-M шаге, когда ац = ід-, т.к. когда c,v -- 0 с требуемой точностью.
Для вычисления полных эллиптических интегралов К(а), Е(а) процесс начинается с тройки
17.6.2. до = 1, fa = cos «, C0 = sin а. Тогда
17.6.3. ВД - ¦
2ак
ВД^ВД Ш
\с% + 2с» + 24 +... + 2?].
Для вычисления К'(а), ?'(а) начнем процесс с тройки
17.6.5. oj, = 1, ig = sin «, Сд -- cos и. Тогда
17.6.6. К'Ы = -5-.
17.6.7. - - 1-W+lef+rrf + ... + 2?]. X'(«) 2
При вычислении J7(^Xa), F{y' а) исходим из формулы 17.5.2, которая соответствует понижающему преобразованию Ландена, и получаем последовательность амплитуд 9i, 9s, •¦¦, ?v из соотношения
17.6.8. tg (ф„+1 - 9m) = (/>«/<!„) tg т„, 9» ¦=. 9-Тогда с требуемой точностью
17.6.9. F(q>\«) - 9,/(2"ад),
17.6.10. Z(9\a) = Е(ф\«) - (ВД F(9\«) =
= Ci sin 9i + Cj sin 9а + ... + Ся sin 9^
17.7. ЭЛЛИПТИЧЕСКИF, интегралы третьего рода
17.7.1. П(л; 9\а) = ф
= J (1 - п sin® 6)-'(1 - sin' at sin" 6)-'« dd.
17.7.2. П ^i; =П(в\а).
(!) Гиперболический случаи (0 < п < Sina а) е arcsin (n/sinB а)1/я, л/2,
? = - F(e\a)/Ar(a), q = ,(а),
V = - f(9\a)/Af(a), Si = [и(1 - n)J(sin! а - л)"1]»'. 2 414
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
17.7.3. П(л; ф\«) =
= 8t I - J In [»,(V + - +*&KP)/®iCP)J •
17.7.4. 'щЦЧ-В.
2 ®4(у - ?)
е. 2 ? s-xq%l — с/иГ' SiD 2SV Sin 2s?. 1-1
17.7.5. Ш.
ада
= Ctg ? + 4 2 q" (1 - 2q*> cos 2?" + q")-1 sin 2?. s-1
В приведенных формулах можно также использовать тэга-функции Невилля 16.36.
17.7.6. П(и\а) = XW + 8,*(«) Z(x\cc).
(II) Гиперболический случай («> 1)
Случай я > 1 может быть сведен к случаю 0< N < sin3« подстановкой
17.7.7. N = И"1 Sin2 а, й ¦=[(„_ 1) (1 _ л-1 Sin2 «)1,/!.
17.7.8. п(в; ф\«) - -п(N; т\а) + р(ф\сс) +
+ J- 1п[(Д(ф) ! л tg <р)(Д(ф) -pi tg ф)-'],
2 P1
где Д(ф) — дельта-амплитуда (см. 17.2.4).
17.7.9. П(л\а) = К(а.) - П(Я\а).
(Hl) Круговой случай (sin2 а< л < 1) с = arcsin [(1 — л)/COba а]1'2, О с к — ,
? = Л F(e\90° -»ТД'М, 2
ї = «(«О-
17.7.10. V= — Я*\а)№),
2
Si = Wl - иГ'(» - sin» a)JP".
17.7.11. П(и; ф\а) = 8,(). - 4ц»),
17.7.12. X = arctg (th ? tg v) +
+ 2 ? (-1)'-?-1?2?! - ?")-4 sin 2sv sh 2 s?.
17.7.13. Ц = ? 2 2s?jJl + 2 ? ««ch 2s?jJ.
17.7.14. П(л\а) = K(a) + j TiSiJl - A,,(e\«)], где A0- лямбда-функция Хеймана (см. 17.4.39).
- I— is'
7..0 15
10
„-Qj.p-15"
O !S' 30' is tf 75° )0° a Рис. 17.11. Эллиптический интеграл третьего рода.
(IV) Круговой случай (я < 0)
Случай п < О может быть сведен к случаю sin2 а< ЛГ < 1 подстановкой
17.7.15. N = (sin! к - п) (1 - п)-\
Pа = [—и( I - л)"1 (Sin2 а - л)]1'2.
17.7.16. [(1 _ л)( 1 - И"1 Sin2 а)]1/3П(л; ф\а) = = [(1 - Jf) (1 - JV-' Sin2 ф\а) +
-І- РЇ1 sin8 аГ(ф\») + arctg j® sin 2ф/Д(ф)| •
17.7.17. П(п\а) =
= (-л cos2 а) (1 - л)-1 (sin2 а - я)~'П(//\я) + ! sin2 a(sin2 а — н)
Частые случая
17.7.18. и = О,
П(0; ф\«) = Яф\«).
17.7.19. л = 0, а = О,
11(0; ф\0) ф.
17.7.29. a = О, П(и; ф\0) = (1 - лГ1« arcth [(1 - n)1'2 tg (л < 1), П(л; ф\0) = (л - I)-1'2 arcth [(л - I)1'2 tg ф] (n > 1). П(п; ф\0) =¦ tg>f (n = 1).
17.7.21. а = т./2,
П(л; ф\7і/2) = (1 - n)-'Dn (tg ф + sec ф) -
- — л"21п (1 + it'" sin ф) (1 - л1« sin ф)-1] (л # 1). 2
17.7.22. n -= ±sin к,
(1 T Sin «) {2П(± sintx; ф\а) - F(<?\x}} =
= arctg [(1 T sin а) tg ф/Л(ф)], ПРИМЕРЫ
415
17.7.23. п = 1 ± cos «, 2 COS аїї(1 ± COS a; <p\a) =
= ± і In [(1 + tg 9 Д(ї)) (1 - ig 4>A(<p))-4 + 2
+ J-In [(Д(<р) + cos a tg <р) (4(?) - cos ос tg ?)-1] =F 2
+ (IT cos a) F(<p\a).
17.7.24. » - Sins
!!(sin2 a; q>\a) = sec3 a?(?\«) - (tg2 os sin 2ф)/(2Д(т)).
17.7.25. B=I, П(1; ф\«) =
= F(f\a) — sec3 a ?(cp\a) + sec2 a tg qj A(<p)"
ПРИМЕРЫ
Пример 1. Привести к канонической форме ^ у'1 dx,
где у' - - З.Ї1 -г 34х3 - IWaj1 + 172* - 90.
Подбором или решением уравненргя четвертой степени найдем у" =QiQa, где Q1 = 3.*' - IOx + 9, Qz — -х- + + 8х - 10.
Представление многочлена четвертой (третьей) степени
в виде произведения двучленов от t'~ проиллюстрируем следующими тремя методами.
Первый метод
Многочлен Q1 - IQt (3 +Mx5 - (10 4 8X).r + 9 + + IOX будет полным квадратом, если дискриминант
равен нулю, т.е. при
X
Тогда
(10 + 8Х)2 - 4(3 + X) (9 + 10Х) 2/3 или 1/2.
е. + |е» = J (* - 1)'. Q1 - е.
- (.V - 2)'.
Решая эту систему относительно ?i И0г> получим
C1 = (JC - D3 + 2(х - 2)а, 02 - 2(Х - 1)в - 3(х - If.
Отсюда следует, что подстановка t — (х — 1) /(х — 2) дает
J у-1 dx = ± j Kr2 + 2) (2га - 3)]-:
8 Л.
Если уравнение четвертой степени у2 = 0 имеет четыре действительных корня (или в случае уравнения третьей степени — три действительных корня), то необходимо линейные множители комбинировать так, чтобы ни один из теорией уравнения Q1 = 0 не лежал между корнями уравнения^1^ и наоборот. При этом условии описанный метод
