Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
Рис. 17.4. Неполный эллиптический интеграл первого рода F(9\«), а — постоят ая.
?(р\а)
Рис. 17.6 Неполный эллиптический интеграл второго
рода Е(<?\к), 9 — постоянная. J 7.4. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
407
17.4.14. f Дф\«) -
= ?(гс/2\а) -1 sm3 ос sui 'у sin у-
Эгн формулы следует использовать при вычислениях, когда 9 близко к 7г/2 и т близко к единице.
Параметр, больший единицы
17.4.1!. Flcр I т) - т-^'Рф I mJ), sin O = sin р.
17.4.16. Elu \ т) = т'^ит1"! пгг) -Ifn- 1)и.
Эти формулы приводят параметр, больший единицы, к параметру, меньшему единицы.
Отрицательный параметр
17.4.17. FOpI - т) (1 H- т)л»К(т(1+ т)-1) -
-(1 + - <p| m(l + m)-»!.
17.4.18. ?(u| - m) =
-0 + mfl{Elu(l + + Q-1)-
- m( 1 + m)-"ssn (u(l + mf'4 m( 1 + m)J)x
xcd(u(l + mf"\nil + m)-1)}.
С помощью 'JTtix формул можно вычислять эллиптические интегралы с отрицательным параметром и, следовательно, с чисто мнимым модулем.
Частые случаи
17.4.19. Flf\0) - <р.
17.4.20. f(itp\0) = itp.
17.4.21. F(<p\90°) - to (sec ? - tg <p) - In tg ^ + ? J .
17..1.22. f(i>\90°) - і aretg (sh <p).
17.4.23. ?(cp\0) - <p.
17.4.24. Д/ф\0) - if.
17.4.25. Eif\90") - sin <p.
17.4.26. E(i<p\90") , -і sli -p.
Дзета-функция Якобн
17.4.27. Z(<p\«) = Е(ч>\а) - Ela) F(<p\b)/K(а).
17.4.28. Z(Ulm) = Z(u) = ?(u) - і?И%).
17.4.29. Z(- и) = -Zїй).
17.4.30. Z(u + IK) - Z(u).
17.4.31. Z (К -и) = -Z (К 4 и).
17.4.32. Z(w) -Z(U-X)-Hi sn (» - AT) cd (u - X).
Частные значения
17.4.33. Z(u 1 0) 0.
17.4.34. ZChI I) - th и.
Теорема сложения
17.4.35. Z(a + v) =
— Z(ri) + Z(v) — m sn и sn V sn (и + v). Мнимое преобразование Я.тоба
17.4.36. iZ(i«l m) =
= Z(u| mi)-i--—---dn {'І і /Пі) sc («І mi).
Связь с тэта-функцией Якоби
17.4.37. Z(u) = 0'(в)/0(и) = — In ®(»).
, du
Разложение Ъд -ряды
17.4.38. Z(u) = — ^pqXl - Sm (к sulК).
к Si
Лямбда-функция Хейчака
17.4.39. А,+
JC («)
+ - ад Z(9\90° - а), я
17.4.40. Л0(<р\«) =
= - { ад ?(9\90d - et) - [ОД - ?(«)] F(<p\90° - а)}.
Вычисление неполных эллиптических интегралов первого и второго рода
При пьт-гасл^пия эллиптических интегралов, содержащих под ра<іякаюм многочлен чстертой (или ірстьеи *)) сі е-, пгп.-t, следует предварительно представить многочлен в і виде произведеная двучленов от Iz (см. примеры 1 и 2). Для преобразованного много шена четвертой степени возможны только шесть знаковых комбинаций в множителях, а именно:
(г= + а3) (гЕ -I 6s), (а- - І") (г2 -№ - г3) (bz - с\ (г3 - Да) (tг - ^), (г3 ч а2) 0Г* - 6а), (га 4 да) (&а - t*),
Слздующгг ниже таблица охватывает все возможные
случая интегралов, сводящихся к f (^\сс) или ?(?\а)-Столбец «9» содзр/К.тг подстановки, приводящие эти интегралы к тригонометрической форме (см. 17 2.6 и 17.2.9). Столбец <ф> содержит подстановки, приводящие эти же и IiTSi ра.ты к виду, зависящему о г эллиптических функций Якоби (см. 17 2.7, 17 2.10, 17.2.11 и 17.2.12); получающиеся при этом выражения для эллиптических интегралов первого рода пр/гзадены з столбца «эчздзачентные обратные эллиптические функции Якоби» Здесь, например, u = sn-1 х означает, ЧТО Jf = sn и.
*) Дополнительно для многочлена третьей степени см. 17.4.61 И 17.4.70. 408
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Є(р\9)
Рис. 17.7. Неполный эллиптический интеграл второго рода ?(?\с), а — постоянная.
п эстоянная.
Эквивалентные обратные ичеекие функции Якоби
подстановки
dt
cos а =
= bfe а > Ъ
г = .(«*-
- 6!)/о'
J Kia + (I* + 6*)Ґ'а
dl
Л-
J К»* + Cf]
')(I' + Ss)]1"
Г_dt
")l(a'-t')(f-
ЩИ*
dt
H(a*-f)(t*-b')fl'
dt
3 Ka2-I') (Ss-Is)]1"
sm а = - bja a> b m =VIcf
( dt J [(Oa-<¦)(»*-
eo
'S
dt
[(I2 - O2) (f - W1
dt
[(t' - a')(f - Ws
if!^) ifM
'ifia
if 13
-if* I b*'
tg T = -
tg<? ¦
aV - if) Л<? - і2)
a2(i)2 - Xа) ' b'(a> - з?)
if-if
"if-If
t = 4 cd у
— С (''+ __*_
a Ні' + Ь2.І[(І!та2)(І! + !>2)]1'2
о
f I'2 + b' 1 dt_
"J Ir» + Os J ((I1 + Л2) (Iі + 6>)11"
«1-а_A
J I2 Ka2 - I2]
Kos-IsJOi-Wj
і f (Q1-Ii)A
" JKo2-(2Xia-I2)I1"
о
^-6.,((^)--*- I
JU2 -I2 J [(if -?) (b' -I2)]1'2
a»-Z.' Г f I2 ) _dt
a 3 Il1 - f J Kl* - e*)(i'- W
C ft2 - 62) _Л_
0J I Ia Д(іг-о«)(Is- Ws Продолжение табл.
Эквивалентные обратные
подстановки
подстанов&п
Clg а —
--Ыа
аЧУ
(а'+ЬУ'П
dt
J К'8 -г CtsXi2 - b*)F*
(о2-Fb3M -
А
J [С3 + а2) (<3 - 6?"2
("I—1
Ii. ja2+^
і j' >--1 "S і
' 17.4.51.
(а»+ BW
tg v.-bin
i3 ' a3+i3
dt
3[(I2 + a3»»3 - I')]"2
(a3+ 63)1'3
Jl__
>) (S3 -13)]''3
(. ab la' + b'j
U I a1 + b?J
COS 9 -
_ a' + b' ' a" + x'
xV + У) " 64a3 + *»)
t = (a! + bf' ds V
at
I — b cn У
(o> + b'f
f I3 + a'
J /3
dt
Kt3 + a2) (I3 -WI1'2
(a3 +
MVsf —!— 3 (I3 H- a!
lit
!) [O3 + a2) (I3 — 63)]1'3
