Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
всегда будет приводить к действительным значениям ?.. Эти значения, однако, могут быть и иррациональными.
Положим
C = ^J- = Q3
Второй метод
S1 Зх" ~ IOjc + 9
-х' + Sx-IO Дискриминант уравнения QiIs — Q1 = 0 имеет вид 47" - (10 + 81')2 - 4(3 + /2) (9 + IOl2) -
= 4(312+ 21' — 1).
Используя подстановку Is образований получим
Qi(x) Qt(x) '
после серии пре-
J Jri Же = ± J Г-1 dt - ± J [(3/а + 2) (2t2 - I)]-1'3 dt.
Этот метод приводит к цели, когда (как здесь) T2, как функция от Iі, представима в виде произведения действительных множителей. Если коэффициенты многочлена четвертой степени — рациональные числа, то коэффициенты множителей T2 также будут рациональными.
Положим
Третий метод
Q1 Зх2 - IOx + 9
С).
Q2 -X2+ 8х- 10 Дискриминант уравнения Q^w -Q1 = 0 имеет вид AW- 4(3w H- 2) (2w -I) =
- 4(6w2 -]- 4(А иs +- Bw H
W
Тогда, если Z2 = — и
W1
Z2 ™ (В - Z2)2 - 4AC = (z2 - I)2 + 48,
го, используя приведенные здесь подстановки, после серии преобразований получим
J у1 dx - ± J Z1 dz.
Однако в данном случае множители Zi являются комплексными и вследствие этого метод не приводит к цели.
И і двух методов — второго и третьего — один всегда будет приводить к цели там, где другой неприменим.
Если коэффициенты многочлена четвертой степени являются рациональными числами, то множители T1 или Z2 будут иметь рациональные коэффициенты.
Полученные первым и вторым методами канонические формы эллиптического интеграла могут быть сведены к форме Дежандра, если использовать таблицу на стр, 409— 410. В данном примере эллиптический интеграл оказался интегралом первого рода.
Пример 2. Привести к канонической форме ^dx, где jt^xix- 1){х-2).
Для представления уг в виде произведения двучленов от t- используем третий метод примера 1, положив Qi =
— (х — 1) и 02 = х(х — 2). Введем замену , _ * - *
Qt
¦ 2х416
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Дискриминант уравнения QiW - Q1 — Vit' — (2н> + + + 1=0 имеет вид
4IF = (2и> + If - 4и> = Aws + I,
W - Aw1 + Sw + С, где А = 1, B = 0, С = - •
4
Если положить zE = И-71» и Z' = IB- zf -AAC-= (z!)a - 1 = (z' - 1) (z2 + 1), то
J у-1 dx - ± J [(г! - 1) (2а + I)]-"8 iz.
Как и в примере 1, данный интеграл является эллиптическим интегралом первого рода.
Первый метод примера 1 при данном выборе Q1 и Q2 непригоден, так как корень Q1Oe) = 0 лежит между корнями Qz(x) =» 0, что приводит к комплексным X. Однако этот метод может быть применен, если положить Qi = X и Qz = (д: — 1) (х — 2). В этом случае корни уравнения ?i(*) = 0 не лежат между корнями уравнения Q2(x) = 0. Пример 3. Найти #(80/81).
Поскольку интерполяция при т = 80/81 » 0.98 ...в таблицах, в частности в табл. 17.1, затруднена, используем другие методы.
Первый метод
Воспользуемся формулой 17.3.29 при т = 80/81, M1 = = J/81, т{'2 = 1/9. Тогда
1(1 - ml'8) (1 + /л^ГЧ2 = 0.64, #(80/81) = 1.8#(0.64) = 3.59154 500 с 8D. Значение #(0.64) взято из табл. 17.1.
Второй метод
В табл. 17.4 приведена вспомогательная функция L(m), полезная для вычисления К(т), когда т близко к единице, или КXm), когда т близко к нулю.
#(80/81) - - #'(80/81) In (16- 81) - Д80/81).
Иеггерполируя в табл. 17.1 а 17.4 на значение 80/81 = =-• 0.98765 43210, получим
#'(80/81) = 1.57567 8423,
/.(80/81) = 0.00311 16543.
Наконец,
#(80/81) =
= 7t~J(l.57567 8423) (7.16703 7877) - 0.00311 16543 =
= 3.59154 5000 с 9D.
Третий метод
Аппроксимация мноючленом 17.3.34 дает #(80/81) - 3.59154 501 с 8D.
Четвертый метод. Арифме гико-геимсгрнческое среднее
Здесь sin8 а = 80/81 начав с чисел 9 '
C0 = VWT = 0.99380 79900,
а*
¦¦ 1, Ь0
0.99380 79900 0.44444 44444
» «я ьп
0 1.00000 00000 0.11111 1111!
1 0.55555 55555 0.33333 33333
2 0.44444 44444 0.43033 14829 0.11111 11111
3 0.43738 79636 0.43733 10380 0.00705 64808
4 0.43735 95008 0.43735 94999 0.00002 84628
5 0.43735 95003 0.43735 95003 0.00000 00000
Следовательно,
#(80/81) = ~ тшГ1 = 3.59154 5001. Пример 4. Найти ?(80/81).
Поскольку в табл. 17.1 интерполяция при т = 80/81 » « 0.98... из-за крупного шага требует вычисления разностей высокого порядка, рассмотрим другие методы решения этого примера.
Первый метод Используя формулу 17.7.30 при т = 80/81, получим
?¦(80/81) - — E(OM) - - #(0.64) - 1.01910 6047, 9 5
где ?(0.64) и #(0.64) взяты из табл. 17.1.
Второй метод
Аппроксимация многочленом 17.3.36 дает ?(80/81) = = 1.01910 6060. Две последние цифры нужно отбросить в силу точности аппроксимации.
Третий метод
Применим метод арифметико-геометрического среднего 17.6. Используя числа, вычисленные в примере 3 (четвертый метод), найдем
^?(30/81) _ і _
?(80/81) 2
= — [1.43249 71298] = 0.71624 85649. 2
Величану А'(80/81) возьмем из примера 3 (четвертый метод) и получим
?(80/81) " 1.01910 6048 с 9D.
Пример 5. Найти <7, если т =- 0.9995. Здесь /и, = ^ 0.0005; используя табл. 17.4, найдем
Qlm) = 0.06251 563013, = W1Qijn) = 0.00003 1257815.ПРИМЕРЫ