Справочник по специальным функциям - Абрамович М.
Скачать (прямая ссылка):
17.3. ПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Возвращаясь к каноническим формам 17.2, скажем, что эллиптические интегралы будут полными, если амплитуда равна л/2 и соответственно л — 3, Полные интегралы обозначаются
17.3.1. К(т) - К - J [(1 - fa) (1 - mPft** dt,
0
я/2
Kim) = K= ^ (1 - т sin2 G)-1'2 dt, о
i7Ai*-'(f I-MiW-
1
17.3.3. ЕЦК(т) 1 - - fs)-V*(l - mff'dt, и
nIZ
F.[K(m)] = J (1 - m Sins в??» dd, 17.3.4 E « ?[*(,»)] = E(m) =
Определим также
17.3.5. К¦ = K(In1) = - m) = ¦t/2
= 5 (I - sin» 0)-"« de, 0
ила*МЇЬМІ\Н-
17.3.7. E' = E(M1) = E(l - m) =
v:IZ
= 5 (I-W1 Sina O)1'2 db,
о
¦ 17.3.8. E' = Е[К(т{ї\ = (Em1) E | у - aj .
K — действительный niK' — мнимый четвертьпериодысоох-ветствующих эллиптических функций Якоби (см. гл. 16).
Связь с гнпергеомстричсскоіі функцией (см. гл. 15)
17.3.9. К=- F[-, і; I;,,,].
2 {2 2 I
26' 404
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
7.3.10. E-- F ( - J-. —; 1; ml.
2 (. 2 2 J
Разложения в ряд 17.3.11. + +
+(Ш1шЭН (|и,<1)
1,ЗЛ, ДО? -(?Jf-
-Шт-»] <'-'<»
Соотношение Лежандра
17.3.13. EK' + Е'К - KK' « тс/2.
Вспомогательные функции
17.3.14. Цт) - In — - К(т).
Tt ЛІ1
17.3.15. т = 1 - 16 exp I-!t(K(m) + 1(т))1КХ™)1
17.3.16. т= 16 exp 1-п(КХт) + i(m,))/tf(m)]. Функция ?(т) прогабулирована в табл. 17.4.
Разложения в д-ряды
Оспоииой H дополните гьпый параметры Якоби q и Cli определяются равеїіетвами
17.3.17. q - q(m) - exp [-itK'jK],
17.3.18. ?1 - фін) = exp [—xKIK']. Далее.
17.3.19. In — In -L - rta,
Я Ii
17.3.20. Igl0 - Ig ,о - = (it Ig10 e)' =
Я h
= 1.86152 28349 с 10 D,
17.3.21. q = exp [- TtK'IKl =- + 8(-12 +
16 I 16 J
17.3.22. AT - - + 2iu У" —
2 Й1'
17.3.23. J- = і (1 + mi) +
17.3.24. am ц у + у
2q' sin 2sv
где V - nul(2K).
+ №)a Jl/12 - 2 f^ «"(1 - Я™)'* ] •
Пределы
17.3.25. Iim K\E -K) = 0. їй -о
17.3.26. Iimi Jtf--Ito (16/m,)j = 0.
17.3.27. Iim m-\K -E) = Iim nr\E - miK) = it/4.
0 m-,0
17.3.28. Iim aim = IimqlIm1 — 1/16.
Другие формулы для вычисления К И E (см. также 17.5)
17.3.29. К(т) =
= 2[1 + ЛГ([(1 - wi['a)/(l + ml*)f).
17.3.30. Е(т) -
= (1 + тГ) ?([(1 - м}'а)/(1 + п.!")!*) -
- 2»,}<а(1 + m}"1)-1 *([(1 - mi's)/(l + mj'a)]a).
17.3.31. ВД - 2F(arctg (sec ''» «)\«).
17.3.32. E(a.) - 2?(arctg (sec "a a)\a) — 1 1 cos a.
Алпроксимаїрш многочленам!! (0 < m < 1)
17.3.33. K(m) - [о» + G1Hll + asmf] +
+ [»о + Jijm1 + bsm?l In Olm1) + є(т), I є(т) КЗ-10-»,
<70 = 1.38629 44, feo = 0.5, oi- 0.11197 23 , 0.12134 78, Ot - 0.07252 96, h = 0.02887 29.
17.3.34. K(m) = [do + віЖі + ... + я4ті) +
+ [і. + Wm1 + ... + i>4mj] In (1/т,) + г(т), І г(т)] « 2- IO-8,
U0 = 1.38629 436112, і» = 0.5, а1 = 0.09666 344259, J1 = 0.12498 593597, Oj = 0.03590 092383, is = 0.06880 248576, аг - 0.03742 563713, - 0.03328 355346, о, = 0.01451 196212, J1 = 0.00441 787012. J 7.4. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
405
'K-F№\i>
О 20 ЮГ 13 60 ее
Ряс. 17.1. Полный эллиптический интеграл первого рода.
17.3.35. Дт) - [1 + C1M1 + camjl +
+ [Simi + Ь,п?і In (1/mi) + s(m), I e(m)I <4- IOj,
a, - 0.46301 51, i, = 0.24527 27, as = 0.10778 12, 62 = 0.04124 96.
'C-EiSO °\S[>"-x>
Рис. 17.2. Полный эллиптический интеграл второго рода.
17.3.36. Дго) - [1 + HiMi + ... + +
+ Ihm1 + ... + J4'"*] 1" (!/mI) + Е(т).
I t(m)| < 2-10-«, а, = 0.44325 141463, h = 0.24998 36S310, о, - 0.06260 601220, Ьа = 0.09200 180037, ав - 0.04757 383546, 2>, = 0.04069 697526, H1 - 0.01736 506451, І, = 0.00526 449639.
17.4. НЕПОЛНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО И ВТОРОГО РОДА
Формулы приведения Отрицательная амплитуда
17.4.1. F(- ft т) = - f(9lm).
17.4.2. Д- Tl га) = ~ Д<р| га).
Амплитуда произвольной величины
17.4.3. F(m ± <р I т) = 2sK ± F(<р | т).
17.4.4. Да + 2ST) = Ды) + 2Е.
17.4.5. Е(и + IiK') - Ди) + 2ЦК' - ?').
17.4.6. Е(и+2тК +2п/К') = Ди) + 2тЕ\2пЦК' - E').
17.4.7. ДДГ - и) = E - Ди) + ш sn и cd и.
Мнимая амплитуда Если tg 0 = sh 9, то
17.4.8. F(irp\a) Ш, | - «j .
17.4.9. Ді<р\а) - - aj +
+ IF fe\ - - + / tg 0(1 - cos* « sin* 6)»".
Мнимое преобразование Якоби
17.4.10. Дій I m) =
= i[u + dn(«l mi) sc («I Hi1) — Дні Wi1)]. Комплексная амплитуда
17.4.11. Дф + іфі т) = ДХ] га) + ІД [і. і Mj),
где Ctga X — положительный корень уравнения Xs — [ctg3 9 + т sh2 ф cosec3 ср — mi]* — mx ctg3 9=0
и
in tg3 [і tg® 9 Ctg3 X — 1.
17.4.12. Д9 f гф\«) = ДХ\а) - >Дц\90° - «) f
+ .'Дц\90° - <х) + h±!b.
Ьз
где
йі =- sin3 а Sm X cos X Sin3 [>( і — sin3 a sin2 Х)1/й,
S3 = ?1 — Sin2 a Sin3 X) (1 — cos3 a sin3 [i)1'2 Sin [і COS [і,
br, = COS2 LL + Sin3 a sin3 X sin3 [і.
Амплитуда, близкая к л/2 (см. также 17.5) Если cos a tg 9 tg ф = 1, то
17.4.13. Д9\а) + Дф\«) = Дл/2\а) - К, 406
17. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Рис. 17.3. Неполный эллиптический интеграл первого рода F(tp\«), 9 — постоянная
