Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Конечнозонные потенциалы. Произвольный периодический потенциал может иметь бесконечное число невырожденных собственных значений основного спектра (простых корней уравнения а|=1). Здесь мы рассмотрим конечнозонные потенциалы,
т. е. потенциалы, имеющие только конечное число невырожденных собственных значений Eh і = 1, 2, ..., 2п + 1, а остальные собственные значения вырождены.
В общем случае имеется бесконечное число невырожденных собственных значений. Эта теория была распространена и на общий случай Мак-Кином и Трубовицем (1976) [368], но обобщение весьма нетривиально. 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 161
Здесь нам удобно ввести в рассмотрение функцию х = = —Так как удовлетворяет уравнению (2.3.2), то X удовлетворяет уравнению Риккати
(2.3.11а) -ix' + x2 + u = E.
Таким образом, если % = Xr + i%h то имеем
(2.3.11Ь) х, = 4 О"**)*
и представление
(2.3.11с) г|,± (х- х0, Е) = ( ** P )'/2ехр f / j х* (У, х0, k) dy\.
Ниже мы будем пользоваться следующими асимптотическими формулами (при -> оо, E = k2);
(2.3.12а) ф±~ехр (/А (*-*„)),
(2.3.12b) Xiz^kXl + X0 + \ Х_, + І%-2+ ¦¦¦ с
X1 = J=U Z0 = 0' X-I = rF"/2. Х_2 = =F (4) их, Х_з = ± (2ихх - и2), ...;
то есть,
(2.3.13) ...).
Отметим, что, вообще говоря, уравнение КдФ и его высшие аналоги могут быть представлены в виде (см. Захаров, Фаддеев [532] или разд. 1.6)
n
O Z Cm/2m+i
(2'3-14) = ! ¦
OO
ГДЄ ^2m+l= 5 %-(2т + l)(x)dx И 6I/OU — П рОИЗВОДНЭЯ ФреШе OT /.
— OO
2.3. Ь. Обратная задача рассеяния. Функцию х можно выразить через данные рассеяния а, Ь. Для этого мы воспользуемся (2.3.6). Исходя из равенств г|з (х = х0) = 1, и (х = х0) = = ix'{x = xо) (последнее следует из определения х), получим
(2.3.15а) ^ЧО+Т^ + И'-хК'
6 Зак. IH 162 2. МОЗР в других постановках
где Хо = %(х = X^ = %(х0) х0, k) 1). Теперь, воспользовавшись соотношениями (2.3.5) при X = X0 и (2.3.8Ь), получим
(2.3.15b) X0 ± = V Vfl/ + ;f-~ = X0^ ± + й0/ ±-
_ k (± Vl - а% + ibR)
Ло±
Поэтому _
± &Л/1 — aI
(2.3.15с) X0jiifc=
Теперь введем другой базис функций, удобный для анализа свойств аналитичности данных рассеяния. Мы определим собственные функции с{х; х0, Е), s(x; х0, Е), такие что при х = X0
(2.3.16а) с (х0; х0, Е) = 1, сх(х0; х0, E) = О, (2.3.16b) s(x0, х0, E) = 0, S^(ViXjiE)=I. Оператор трансляции можно записать в виде (2.3.17а) с(х-\-Т) х0, Е) = аис(х) х0, Е) + a12s (х; х0, Е), (2.3.17b) s (х + Т) хь, Е) = а2,с (х; х0, E) + а22s (х; х0, Е).
Имеется следующая связь между базисами (2.3.3,4) и (2.3.16, 17):
a n=aR+bR, a22 = aR — bR, (2.3.18) a. + b.
а12 = — k (a, — b,), а21 = -lJ—.
Преобразовав уравнение Шрёдингера (2.3.2) в интегральное уравнение Вольтерры (интегрирование проводится от хо до х), можно показать, что собственные функции с, s суть целые функции переменной Е. Это означает, что коэффициенты а,-/ также являются целыми функциями переменной Е. В теории функций комплексного переменного доказывается, что целую функцию можно представить в виде произведения ее нулей и целой функции, не имеющей нулей. В частности,
21V+і оо
(2.3.19а) 1 - а% (E) = g{ (E) ? [E-E1) П (Е - E,)2,
2 JV OO
(2.3.19Ь) {а'+ЕЬ'] = g2 (E) Д (Е - Yi)2 Д (? — Esf.
i = l І = I
Отметим, ЧТО gi(E), і= 1, 2, суть целые функции, не имеющие нулей, Ei — простые корни уравнения 1— aj, = 0, Ei — дву-
') В предыдущем пункте буква Xo обозначала совсем другую величину,-Прим. перев. 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ 163
кратные корни уравнения 1—а'^ = 0 и простые корни уравнения a, + bi = 0, у, — это простые корни уравнения а/ + bt = О, расположенные внутри запрещенных зон. Таким образом, представляется в виде
2ЛГ+1
?fl_a24 Jl(E-Ei)
(2-3.20) 3? = (a + J = -S (E),
11 (Е - Yt)2
I = 1
где функция g(E) = gi (E) /gi(E) является целой и не имеет нулей. Асимптотика g(E) при E-*-оо определяется по известной из (2.3.13) асимптотике
(2.3.21) = +
Сравнив (2.3.20) и (2.3.21), мы видим, что Iimg(E)=I. По-
е-їоо
этому из теоремы Лиувилля следует, что
(2.3.22) г(?)==|іЦ1.= 1.
Используя (2.3.22), разлагая (2.3.20) и сравнивая с (2.3.21), получим формулу восстановления потенциала и (в точке х = х0):
2АГ+1 n
(2.3.23)
Теперь мы установим, что Ei не зависят от точки х0, тогда как Y« зависят от Xo- Кроме того, мы выведем уравнения для Yi (хо). При этом потенциал и в произвольной точке X0 можно будет восстановить по формуле (2.3.23).
Рассмотрим малый сдвиг точки Xo в х0 + dx 0. Матрицу фундаментального решения Ф(х; X0 -f dxa, k) можно разложить в ряд Тейлора:
(2.3.24) Ф (х; X0 + dxQ, k) ~ Ф (х; х0, k) + ФХо (х; xQ, k) dxQ =з
= (I + Q dx0) Ф (x; x0, k).
Так как Ф(х\ X0 +dx0,k) и Ф(х;хо, k) являются матрицами фундаментального решения, то, как легко понять, I + Qdx0 не зависит от х. Теперь из (2.3.4) и (2.3.24) получим
(2.3.25) Ф (х + Г; X0 + dx0, k) = T (х0 + dx0, k) Ф (х; X0 + dxQ, k) =
= (1 +Qdx0)? (х0, k) Ф (х; х0, к).
6* 164 2. МОЗР в других постановках
