Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь мы приведем (для полноты картины) результаты, относящиеся к задаче рассеяния для разностного оператора Шрёдингера (2.2.7), имея в виду приложения к цепочке Тоды (Флаш-ка [155, 156]; см. также [97, 93, 347, 387]).
Мы предположим, что (ап — 1I2) и Ьп быстро убывают при I«I оо. Положим X= (z-f г-1)/2 и определим решения ф«, t|)n асимптотическими условиями
wn ~ zn, п-у -f оо,
(2.2.66) , -»
г|з„ ~ 2 , п -> — оо
для 121 = 1 (это дискретный аналог функций Йоста). Из линейной независимости функций <p„(z) и фл(г-1) следует
(2.2.67) Mfn (z) = ? (г) Ф„ (2) + а (г) Фп (z"1),
где Iосj2 = 1 + |?|2. Функцию R(z) = ?(z)/a(z) называют коэффициентом отражения. Собственным значениям отвечает конечное множество вещественных точек z, принадлежащих интервалу (—1, 1). Если А(- = (zj -(- Zy-1)/2 является вещественным собственным значением, то нормированной собственной функцией t,n(Zj) мы будем называть собственную функцию, удовлетворяющую условию
(2.2.68) Z Z(Z1) = 1,
«= —оо
и при п-* оо она стремится к ?л (Zj) ~ C0Z?. Обратную задачу можно решить, вычислив
n
(2.2.69а) F (п) = L-§ R (г) z»-1 dz + ? c)z>}
Ы 156 2. МОЗР в других постановках
и решив при т> п уравнение
OO
(2.2.69b) y(n,m) + F{n + m)+ ? х(п, п') F (n'+ т) = О
га'=«+1
относительно и (п, т). Определим
OO
(2.2.70а) (х (га, п))~2 = 1 + F (2га) + E * ("> я') ^7 («' + ")
п'=п+1
и найдем
(2.2.70b) ап = 1 ^+Ai1+4
и
(2.2.70с) Ъп ¦¦
2 к (я. я)
1 и (я. я) у. (я — 1, п) — X (га. я + 1) X (я — 1, я — 1)
2 х (я — 1, я — 1) и (я. я)
Для цепочки Тоды (2.2.1), связанной с (2.2.7) посредством (2.2.13), (2.2.14), зависимость данных рассеяния от времени имеет вид
R(z, t) = R (z, 0)e(*-*~'4
(2-2-71) t(z-z-t)t
Cj(I) = Cj(O)et^' г' Г.
В случае чисто дискретного спектра R(z, 0) = 0, и решение можно вычислить в замкнутой форме. Односолитонное решение, отвечающее единственному собственному значению zi, имеет вид
„ - z0: + ?-2
(2.2.72а)
е-(«»-в»-.)_ 1 = 2' + 2'
Аг» +(Аг?) ' '
где А = Cjexp ((Z1 — z~{) t/2). Положив z = ae~w, <г = ±1, приведем его к виду
(2.2.72b) = 1 + sh2 W/ch2 (W (га - ran) + a sh Wt),
где п0 является константой, зависящей только от с\, Zj. Отметим, что это солитонное решение может двигаться как в положительном, так и в отрицательном направлении.
2.3. Периодические граничные условия для уравнения Кортевега — де Фриза. Чрезвычайно интересной является задача с периодическими граничными условиями для нелинейных эволюционных уравнений, интегрируемых методом обратной задачи рассеяния. К первым публикациям на эту тему относятся работы Лакса (1975) [320], Новикова (1974) [401], Каца и Ван Мёр-беке (1975) [250, 251], Дубровина и Новикова (1975) [144], Итса и Матвеева (1975) [240], Мак-Кина и Ван Мёрбеке (1975) 2.3. Периодические граничные условия для уравнения КдФ
157
[369], Мак-Кина и Трубовица (1976) [368], Дейта и Танаки (1976) [129, 130]. Кроме здесь перечисленных, по этому вопросу было еще опубликовано много других работ, содержащих важные результаты. Обсуждение можно найти в обзорных статьях Матвеева [355] и Дубровина, Матвеева, Новикова [143]. В этой главе мы ограничимся рассмотрением задачи интегрирования уравнения КдФ в классе так называемых конечнозонных потенциалов с периодическими граничными условиями. Решение будет условно периодическим, или квазипериодическим, т. е. волной, зависящей от N фазовых переменных 0; = хіх — со it, периодической по каждому 0/, но, вообще говоря, с несоизмеримыми частотами со,-. Волны, обсуждаемые в этом разделе, являются периодическими по X и почти-периодическими по t. (Грубо говоря, функция f(t) является почти-периодической, если существует такой период T(г), что для любого є имеет место неравенство I f(t -f T) —f(t) I < е при всех t. Строгое определение можно найти в книге Немыцкого и Степанова [394] или в каком-нибудь другом учебнике.) Мы сведем уравнение КдФ к конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которую можно проинтегрировать. Интегрирование потребует привлечения некоторых понятий из алгебраической геометрии и теории гиперэллиптических функций, однако здесь мы не будем вдаваться в подробности. В этом разделе мы будем следовать работе Дубровина и Новикова [144]. Изучались и другие нелинейные уравнения с периодическими граничными условиями: нелинейное уравнение Шрёдингера (Абловиц и Ma [20]')). уравнение sin-Гордон (Мак-Кин [367] 2)), уравнение Кадомцева — Пет-виашвили (Новиков, Кричевер [402]).
Говоря математически, мы рассматриваем вопрос о построении решения уравнения КдФ
(2.3.1а) ut — 6иих + иххх = 0
с периодическими (периода Т) граничными условиями (2.3.1Ь) и (х, I) = и (х + Т, І)
и заданными начальными условиями g(x) (2.3.1с) и(х, 0) = g(x).
Впоследствии определение функции g (х) будет уточнено (т. с. g(a;) будет jV-зонным потенциалом).
2.3. а. Прямая задача рассеяния. С уравнением (2.3.1) связана задача рассеяния для оператора Шрёдингера (см. также
!) См. также Г6*. 7*]. — Прим. перев. }) См. также |8*, 9*]. — Прим. перев. 158 2. МОЗР в других постановках
