Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
un,t = e~Un~l — е~"п+К
Эти уравнения были получены при помощи конечных разложений так же, как в разд. 1.2. Для некоторых из них в работе [109] были найдены эволюционный оператор и формулы, аналогичные полученным в разд. 1.5.
Отметим, что таким же образом можно рассматривать конечно-разностные уравнения, в которых время также является дискретной переменной. Рассмотрим, например, соотношения (2.2.21), в которых будем считать, что время дискретно:
t = m\t (так что vln(I) заменим на о™ = и;(лЛх, mAt), Qn(t)-* Q^ = Q^nAx, mAt) и т. д.). 144 2. МОЗР в других постановках
Кроме этого, эволюцию в дискретном времени зададим соотношениями
А т,.т Лт,.'п I Dm..m
(2 2 32) rt= "
Л "»„,"I /^m m I r\m~.m
Здесь ДтоГ„ = оГ^-г = 1, 2. Полагая AmZ = O и приравнивая
Дт (EnV^n) = E^mVTn)
(так же, как в (2.2.24), (2.2.25)), получим конечно-разностный вариант уравнений (12.8):
z ДпАп = Qn + Cn Rn Bn+1, 4- Bn+i - ZBn = AmQ« - Ow1QJ1 - o„Qr'), (2.2.33) ^ _ = д«^ + і _ Dn+lRz),
— ArtDzi = Rn+1Bn — QnCn+1,
где An = An и т. д.
Дальнейшее разложение определяется дисперсионным . соотношением. Метод обратной задачи [19] приводит к следующему результату:
_ 1 + An
\п\-?<х>
(2.2.34) ш(г2) = Iim -fJ-Я2-,
1и1->оо 1 T- Un
где ©(г2) является «переходной характеристикой» или законом дисперсии линеаризованной задачи (см. также разд. П.1). Например, наиболее общее линейное шеститочечное конечно-разностное уравнение (с постоянными коэффициентами) имеет вид
(2.2.35) AmQmn = (сx2Q;+1 + «Д? + a_2Qm_,) -
-(?2C+1' + ?uQr1 + ?_2Qri1)-
Закон дисперсии, соответствующий этой задаче, получится, если искать решение в виде Qn = Z2V (г ); тогда
(1 2 36) т (г-2! — 1 + «з*2 + «о + «-2Z-2
(2.2.db) «(г)- 1 + ?z22 + ?o + ?_22_2 .
Эта разностная схема является чисто «дисперсионной», или безразлично устойчивой, если I со I = 1. Это требование следует из метода обратной задачи. Достаточными условиями являются следующие равенства: ?^ = al2, P0-01O' ?-2 = (V Таким образом, 2.2. Дискретные задачи 145
(2.2.36) означает, что An в (2.2.33) имеет представления An =
Например, одно из интересных конечно-разностных уравнений имеет вид
(2.2.37) * = jL* IL» , - 2 ft + П +
L \ —оо '
+ (с+/ - 2C+1 + С+4.1 IIл™)] ± T [^(СС.+СС)+
п
+ C+1 (С-.С* + C-VC+1*) + 2CVCC П л*т+
— OO
+ 2C^c+1 *с+1 її л;1 - € t a^ - Z a^4'
— OO J -OO —00
где
1± Ax-V + 1 Чт+1
1±д*2« '
Отметим, что (2.2.37) представляет собой один из вариантов схемы Кранака — Никольсона. Ошибка аппроксимации имеет порядок О(Kt2, Ax2), и в линейном пределе эта схема переходит в стандартную схему Кранака — Никольсона. Следует также отметить, что:
(i) На конечном интервале [—р, р] вместо —оо в суммах и произведениях следует писать —р.
(ii) Линеаризованная схема является чисто дисперсионной и безразлично устойчивой: |со| = 1.
(iii) Для любой линейной конечно-разностной схемы (2.2.35) мы можем найти нелинейную конечно-разностную схему, выбрав в (2.2.33) разложение для An, ..., D'n соответствующим образом.
(iv) Полная конечно-разностная схема для нелинейного уравнения Шрёдингера сохраняет «х — t симметрии», т. е.
в непрерывном случае лс —»—х, —t, і-*—і, в конечно-разностном случае п->—п, т -э—т, і-*—і.
(v) Точности аппроксимации дифференциального уравнения конечно-разностной схемой в линейном и нелинейном случаях совпадают.
(vi) Схемы являются нелокальными, т. е. зависят от всей детки точек. С той же точностью аппроксимации и сохранением 146
2. МОЗР в других постановках
симметрии эта схема может быть сделана локальной (для этого достаточно взять IlAft=I, ^AmSisT = O). Хотя уравнение
(2.2.37) является нелокальным, его можно переписать в виде локальной системы конечно-разностных уравнений.
(vii) Решение можно найти методом обратной задачи (см. ниже), и можно показать сходимость схемы к дифференциальному уравнению при Ах, Д/->0. Солитонные решения вычисляются явно.
Недавние численные эксперименты (Taxa и Абловиц [470]) показали, что такие схемы являются весьма хорошими с практической точки зрения. Анализ, приведенный здесь, может быть распространен на другие интегрируемые эволюционные уравнения.
2.2. Ь. Теория рассеяния. Теперь опишем обратную задачу рассеяния, связанную с разностным 2 X 2-оператором Захарова — Шабата. Здесь имеется довольно близкая аналогия с непрерывным случаем, рассмотренным в разд. 1.3. В конце этого раздела мы перечислим результаты, относящиеся к задаче рассеяния для разностного оператора Шрёдингера, и их приложения к цепочке Тоды.
Мы будем изучать обратную задачу рассеяния, связанную с (2.2.22). Затем соответствующие результаты для (2.2.21) будут получены как частный случай при Sn = Tn = 0. Более подробное изложение можно найти в [17] и [18]. Функции Йоста определяются следующим образом:
(2.2.38) п->— оо: я —> оо:
Так же как в разд. 1.3, можно показать, что для достаточно быстро убывающих при |п|->-оо потенциалов Qn, Rn, Sn, Tn функции
Фnz~n, i|:nzn аналитичны при |z|>l, фпгп, аналитичны при | z | < 1
