Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
02, п + RnV !,„).
Проводя ТЄ ЖЄ ОПЄр?ЩИИ С U2, п и приравнивая коэффициенты при Vi, п, мы получим аналог уравнений (1.2.8) (которые получатся в непрерывном пределе):
(2.2.25а) Z AnAn = QnCn-RnBn+u
(2.2.25b) -Bn+1 - zBn = Qnit- An+lQn + DnQn,
(2.2.25с) zCn+1 - L-Cti = Rn, t-Rn (An - Dn+,),
(2.2.25d) -L AnDn = - (QnCn+l - RnBn+,),
где AnAn = An+1 — An, и т. д. Теперь мы хотим решить систему
(2.2.25) так же, как это было сделано для (1.2.8). Некоторое априорное представление о структуре решения можно получить, изучая закон дисперсии линеаризованного уравнения. В непрерывном случае ключевую роль играла функция ю(2?), т. е. дисперсионная кривая, отвечающая волновому вектору 2? линеаризованной задачи. В дифференциально-разностном случае аналогом этой функции является 0)(22), поскольку мы ищем частное решение линеаризованной задачи в виде Qn = z2ne~i(i>(z2)t. В качестве примера выведем дифференциально-разностное нелинейное уравнение Шрёдингера. Его линеаризация имеет вид iQn, < = = Qn+1 + Qn-1 — 2Qn (очевидная дискретизация уравнения iqt= = qxx), при этом o)(z2) = Z2 + l/z2— 2. Как и в непрерывном случае, оказывается, что величина (Л — D)x = lim (An — Dn)
I п I -> °°
определяет зависимость данных рассеяния от времени. Эта величина пропорциональна со(г2). Это (или же тщательное рассмо- 2.2. Дискретные задачи 141
трение (2.2.25)) подсказывает вид представления
вя=**2 + тв{«1)> (2.2.26) , ! ,
Dn = D^+ L D^,
Отметим, что А и D зависят только от четных степеней г. Симметрия уравнений (2.2.25) позволяет заключить, что BwC следует разлагать по нечетным степеням.
Подстановка (2 2.26) в (2.2.25) и приравнивание коэффициентов при различных степенях z приводит к системе уравнений для Л®, Л(®.....D(n0), D{~2). Ниже приведен результат элементарных алгебраических вычислений:
(a) Z3: Д„Л® == 0 ^ Л® =^ = Const.
(b) Z-3: A11D',Г21 = О =» Din 21 = D-2) = const.
(b) Z2:
(c) Z2: С«+1 = Ai-Rn =>• Cin = Ai-Rn-u
(b) Z-2: ?<+\> = Di- yQn Bi^ = Dt2)Qn-u
(c) Z-2: —C(nX) = - D(-2)Rn=>C-]) = D(I2)Rn.
(a) Z: hnAi0) = Л(?! (QnRn-i - Qn+1 Rn) =>
=> Ain = — Ai2jQnRn-\ + Л
(d) Z~l: knD^^-D^iQnRn+i-RnQn-i)^ => Din = — D(~'2)RnQn-i + Di-.
(a) Z-1: QtlCV - RnBirT+1 = 0=>
Qn (Di^Rn) - Rn (DZ2Qn) = 0 (выполнено).
(d) Z: QnCin+1 — RnBin = O=**
=^ Qn (Ai2JRn) - Rn (A™Qn) = 0 (выполнено).
(b) Z0: Q^^^+i-Qra+.Q^ + ^Q«-
- Dt2) (Q„_, - Qn-iQnRn) - DioJQn. (d) Z0: Rn, t = Dt2) (Rn+l - Rn+iRnQn) + D0-Rn -- Ai2J (Rn-{ - Rn-iRnQn) - AioJRn. 143 2. МОЗР в других постановках
Здесь буквы (а) — (d) обозначают соответствующее уравнение (2.2.25). Последние два соотношения дают эволюционные уравнения
(2.2.27а) Qn, < = (1 - QnRa) (Qn+iA'2 - Qn-xD~2) +
+ (A^-DiS)Qn, (2.2.27b) Rn,t = { 1 - QnRn) (Rn+iD(~2) - Rn^At2J) +
+ (D^-AiS)Ra.
Эти уравнения совместны с Rn = ±Q*n, если и
(AW-DM) = -(AM-DM)*. Если взять A^ = -Ith2, Ai0J - D^ = 2i/h2, то получим
(2.2.28а) Qn, * = (--?-) (Q„+1 + Q„_, ~ 2Q„) ±
±QnQ;(Qn+, + Qn-,)(—Р").
или если Qn = hqn, то
(2.2.28b) iqn, t = + ^-1 ~ ± qnq*n (qn+1 + ?„¦_,).
Это уравнение мы будем называть дифференциально-разностным уравнением Шрёдингера.
Следует отметить, что подстановка (2.2.2Ь) в (2.2.25) дает 12 уравнений для 8 неизвестных. Два уравнения удовлетворяются тождественно, два других являются эволюционными уравнениями. Это непохоже на непрерывную теорию, в которой было 10 уравнений для 8 неизвестных. Собирая все вместе, получим
АП = {?) (1 - 22 =F вп = (lH (- +
Cn = - Q*Jz), Dn = (-=l) (1 - 1iz2 T Qn^Qn).
Отметим, ЧТО при I п I -»- OO
Jim JAa-Dn) = (Lr) (2-z2-±-).
Линейная часть (2.2.28Ь) имеет вид iqn, t = (qn+\ + qn-\ — 2q„)/h2. Закон дисперсии можно найти, представив qn ~ z2n ехр (—Ш), тогда и = (z2 + г-2 — 2) /h2. Таким образом, An и Dn удовлетворяют соотношению
(2.2.29) lim (An-Dn) = -ia>{z2).
Приведем некоторые интересные нелинейные дифференциально-разностные уравнения, связанные с (2.2.25), 2.2. Дискретные задачи 144
(1) Дискретное уравнение мКдФ. В (2.2.27) возьмем Л(°> = = D(O) = O, Л® = D<_72) = 1, Qn = hqn, qn вещественно (Rn = = ± QnY-
(2.2.30) qn,t = (l±Vql)(qn+l -?„_,)•
Уравнение (2.2.30) переходит в мКдФ точно так же, как уравнение (2.2.16) переходит в КдФ. Используя (2.2.22) и подходящую зависимость от времени, можно получить другие интересные нелинейные дифференциально-разностные уравнения (вычисления в этом случае весьма громоздки, см. [17]).
(2) Автодуальная решетка:
Rn — і Qn = Iп> Tn — ± Sn = Vn,
(2.2.31) /„., = (!
Vn,t = (l±Vl)(In-In+i).
(3) Цепочка Тоды (2.1.1):
Rn = 0, Tn= 1, Qn = un,u Sn= 1_е-("«+і-Ч иПш и = е~ (""-"»-О - ("«+»-"«).
Эти уравнения получаются из разложений
An = Afz +Af, B = Bf + Bf^jz, Cn = Cfz+ Cf, Dn = Df+ D^jz
и т. д., подставленных в аналог (2.2.25), содержащий Sn, Tn-Отметим, что задача рассеяния (2.2.7) может быть получена из (2.2.22), если положить Rn = 0, Tn = 1, Qn = —?«, Sn = 1 — ап hi = z+1/z.
(4) Разностное уравнение КдФ (2.2.16). Положив Rn = 0, Tn= 1, Qn = 0, Sra=I-е-"", найдем
