Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
v (. О, т = га + 2р,
и для m — п -f 2р — 1 получим из (2.2.50), (2.2.51) (2.2.52) KXR{n, m) — 2FR{n + m)±
OO OO
±4 Z Z *lR(n, n")FR(n" + n')FR(n' + m) = 0,
где
n" = rt + 2p"-1, ra' = n + 2p', p"=l, 2, .... p'= 1, 2, ... .
Ядро x2 (я, яг) в этом случае также обладает свойствами симметрии:
{Хор (га, т), т = п-\-2р, О, „=„ + 2,-1.
При m == га + 2р, р = 1, 2, ... из (2.2.50), (2.2.51) получим
OO
(2.2.54)
k2R (п, tri) ± 2 ttO (п' + т) — 0.
п'=п+\
где
и' = „+2р'-1, р'=1, 2.....
Имеется следующая связь с потенциалами: (2.2.55а) Qn = — x,R(га, и + 1),
(2.2.55b) Sn = 0.
Одна и та же обратная (пространственная) задача рассеяния связана с дифференциально-разностными и конечно-разностными уравнениями. Единственное различие состоит в анализе зависимости данных рассеяния от времени.
(1) Дифференциально-разностный случай. Уравнение (2.2.23) задает эволюцию по времени. Предположим, что при п->±°о 152 2. МОЗР в других постановках
Ая-*-А±, Dn->~D±, В,„ Cn-»О. Собственные функции, удовлетворяющие одновременно (2.2.22) и (2.2.23), имеют вид
= D+t
(<2 2Ю
(Z.^.OO) _
K-Vne . V = V+-
Действуя так же, как в разд. 1.4 (непрерывный случай), получим
(2.2.57а)
поэтому
(2.2.57Ь)
и аналогично (2.2.57с)
a = OoeC+-4-)', Ь = Ь0е(°+-А-)\ а \а J0
I(I)=(I) е(Л+-°+)'
Ow-- \а J о
Cl = ChJ^-WiK C1 = C1.0?('4+-?+m)<.
Дисперсионное соотношение линеаризованной задачи имеет вид (2.2.57d) -ia>(z2) = (A+-D+)(z).
(2) Конечно-разностный случай. Теперь эволюция задается уравнением (2.2.32). Мы опять предположим, что А%-+А±, п —> 0, Cn —> О при п —> ± оо. Собственные функции, одновременно удовлетворяющие уравнениям (2.2.22) и (2.2.32), задаются соотношениями
фт(0 = ф« (1 + A Y1, = Cl1+ 0X'
(2 2 58)
Ф„ти> = Ф„т (1 + D_)m, = С (1 + А+)т.
Как и прежде, можно получить
( 1 + A+ Y1 _ _ ( 1 +D+ \т
fl = MtrtJ . a = MTTDTJ •
и
(2.2.59с) c1 = ch0(l^f)"1 (z1), c1 = ch0(\±^)m (z1). 2.2. Дискретные задачи 153
Здесь ао, ..., Cj, о отвечают данным рассеяния при т = 0. Дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения (Qn = = z со ) имеет вид
(2.2.59d) =
Схема построения решений дифференциально-разностных и конечно-разностных уравнений описана полностью. Теперь можно вычислить частные солитонные решения. Например, в случае единственного дискретного собственного значения и отсутствия вклада от непрерывного спектра (/7 (п) = — czf-1, SnTn Ф 0) для нахождения решения определим
'йі(я) = ?«і(я. m) zmt
п
и сведем процедуру решения бесконечной системы алгебраических уравнений к нахождению %i (и). Для этого подействуем оператором Zm zm* на уравнения (2.2.50). В дифференциально-раз-ностной задаче односолитонное решение имеет вид
(2.2.60а) Qn = (?),Яеч>(- (|) (со + со*) / + 2/лЄ) X
X sh Wlch (2nW - j (со* - со) і + Фо) , (2.2.60b) Tn = - (?1/2 exp (- (1) (со + со*) / - (2п + 1) /є) X XshlF/ch (2лГ-у(©*-<»)/ + Фо+ Г),
где
(2.2.60с) со = «(22), z = e~*+n, (P0 = -In(J^L).
(Например, в случае автодуальной решетки со = ±i(z— z~1).) Если Sn = Tn = 0, то
(2.2.61а) Q„ = (-p-)"2sh(2lF)exp(2m6-l(cD + (o*)/)X
X 1/ch (2пГ-1(со*-й))/ + ф0),
где
(2.2.61Ь) Фо = -Ш(^).
Например, для разностного нелинейного уравнения Шрёдингера ш (z2) =z2+ г-2 — 2. 154 2. МОЗР в других постановках
В конечно-разностном случае с Tn = Sn = 0 мы запишем
C0(Z2) = I(Ol^ArgO)j
(2.2.62) Qn = sh 2r/ch (2nw -пт\® | - <р0).
В случае конечно-разностного нелинейного уравнения Шрёдингера (2.2.37) следует воспользоваться дисперсионным соотношением линеаризованного уравнения
1 +ia (z2 — 2 + z~2) 1 - ia(z2-2 + z-2) '
где ст = А(/(Ах)2.
Так же как в разд. 1.6, можно вычислить интегралы движения, Например,
при Sn —- Tn = 0 можно показать, что
OO
(2.2.63а) In a (z)= ? lng„(z2),
где gn удовлетворяет
(2.2.63b) gn+l (gn+2 -1)-22 (gn+l -1) = z2Rn+,Qn. Из (2.2.63b) при г-*- О следует разложение для gn(z2)
причем
(2.2.64а) gn~\+ Z2Rn^Qn., + 24/?„_,Q„_3 (1 - Rn.2Qn.2 + •¦•).
Таким образом, a(z) является аналитической функцией при г-*- О и имеет разложение
OO
(2.2.64b) \na(z)~Zc,z2i,
о
причем Cj являются интегралами движения, поскольку a(z) не зависит от времени. Из (2.2.64а, Ь) получим (2.2.65)
OO
Ci = Zl RkQk-1»
(2.2.65)
c^Z M*-2 (1 - - І «S«-.] •
- OO
Величины С/, / — 1, 2, ..., представляют собой интегралы движения. Для того чтобы вывести (2.2.63а, Ь), следует воспользо- 2.2. Дискретные задачи
155
ваться задачей рассеяния и связью a(z) с собственной функцией
ф2 п
a(z) = lim (— ф2nzn),
OO
а уравнение для gk следует из
п
fc»zn = Z
— OO
Еще раз отметим, что программа решения аналогична линейному фурье-анализу, хотя на первый взгляд кажется, что в процессе решения мы пользуемся запрещенными приемами. В нелинейной задаче имеются дополнительные трудности: приходится решать либо интегральные уравнения (в непрерывном случае), либо бесконечную систему линейных алгебраических уравнений (в конечно-разностном случае).
