Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(т. е. вне и внутри единичного круга). Это легче всего показать, когда потенциалы имеют компактный носитель. В этом случае можно по индукции установить, что функции, аналитичные при |г| > 1, являются полиномами по 1 /г, а функции, аналитичные при )г) < оог — полиномами по z. Вронскиан задается соотно-2.2. Дискретные задачи
147
шением
OO
Wn Н>, ?) = Д } I IiiQi = -
і=п 4
Если Ti = -S], Ri = -Q], то функция Wn положительно определена. В остальных случаях мы будем предполагать, что S1-, Ti, Ri и Qi меньше единицы. Линейная зависимость o|)n> if>« приводит к
(2.2.39а) Ф„ = аф„ + М>п,
(2.2.39b) V» = - ai|>„ + Ця,
а соотношение Вронского дает
OO
(2.2.39с) ай + ЬЬ = Д (]!*'%) ,
-OO
где а, a, Ь, Б зависят от времени как от параметра. Мы покажем, что ай + ЬБ не зависит от времени. Поэтому если Ц_то((1— RiQt)/ (1 - SiTtf) является ненулевой конечной величиной в начальный момент времени, то и вронскиан Wn является конечным и ненулевым. Разложениями (2.2.39а) мы будем пользоваться при Ы = 1. Разделим (2.2.39а) на а (предполагая a{z) Ф О при
Ul = 1):
(2.2.39d) +
и предположим существование следующих представлений (имеющих необходимые свойства аналитичности):
OO
(2.2.40а) ^n= Z К(п, n')z-»',
oo
(2.2.40Ь) E К(п, n')zn'\
п'=п
по аналогии с (1.3.17)
/ О \ °°
^ = (, )*> + $ К(х, s)e*sds.
Подставив -ф„ в (2.2.39с) и подействовав на (2.2.39с) оператором l/2ra' ф dzz~m~l (контуром служит единичная окруж-148 2. МОЗР в других постановках
ность), получим
OO
(2.2.41) / = ^(^2-^= ^ Кп(п, +
п'~п
OO
+ YlKint
п'=п
Заметив, что
_1_ ф zn'-m-1 dz _ 5 т)
(б (и, т) = 1 при п = т и О в остальных случаях; б(п, т) —это дельта-символ Кронекера) и определяя
(2.2.42) Fe (От + „') ф і (2) z-(m+n>)-l dZj
получим
OO
(2.2.43) I = Kin, т)+ Z К in, п') Fc (т + п'\.
п'=п
Теперь вычислим левую часть этого уравнения:
(2.2.44) / =^L ф 2й- z-m-l Cf2 = _L_ ф Ч^ІІ 2«—m—1
Функции фп2_л и а (г) являются аналитическими в области |г| > 1, поэтому единственные сингулярности — это точки, в которых Ci(Zl)=O. Таким образом, при z-> оо упг~п/а -*¦ Jx, „. (Мы могли бы вычислять /со, Л переходом к пределу Z-*- OO В (2.2.22), но для дальнейшего эта формула не потребуется.) Предположив, что а имеет N простых нулей Zk, в которых Ф* = получим
N
(2.2.45) i = + ") =
/=I v !> N OO
= - E 77ГГ S *п'] zjw+m)~l + U (я. «)•
Определив Fo(m + rt0 = ZJVC/2J"(n,+m)-1, с/ —VaV' и воспользовавшись (2.2.44), (2.2.45), получим
OO
(2.2.46а) R (п, т) + ? К (п, п') F (т + п') = Jao, „б (п, т),2.2. Дискретные задачи 149
гдо
(2.2.46b) F(m + п') = Fc(m+ п') + F D(m + п') =
n
1
H-24re'+mMdz +ZdIzTin'
1=1
Если мы проделаем то же самое с (2.2.39Ь), то получим
OO
(2.2.47а) К (п, т) - ? К (". "О F (т + п') = ~ J0, „б (п, т),
n
л ?п'+т-1
(2.2.47b) F (т + га') = ф J-2«'+m-i dzCjZ^
і
где
70, „ = Hmz" ^f-
(как и раньше, J0, п можно вычислить, но в этом нет необходимости). Соотношения (2.2.46) и (2.2.47) нам нужны только при m > п. Определим
OO
К (П, т) = [J t _\.Qi к (". т),
П
OO
Я (я, /и) = Д t _\.Q. X (п, т),
п
И(", «) = ( J ). ") = (о)-
При этом (2.2.46), (2.2.47) дают для т > п
° JF(m + n) +
n+l
(2.2.48а) %{п, т) + ( Ъ (т + п) + ? и (п, п') F{п' + т) = О,
^ ' rt+1
/1 00 (2.2.48Ь) и (п, т) — ( Q J F (т + п) - ? * (". «') + т) = 0.
Эти уравнения являются дискретным аналогом (см. (1.3.24, 25)) интегрального уравнения_ Гельфанда —Левитана — Марченко.
Мы свяжем К (п, т), К, (п, т) с потенциалами, подставив = = ZJ К (п> т') z~n' и т. д. в задачу рассеяния (2.2.22). Для151
2. МОЗР в других постановках
К(п, от), К(п, т) получим конечно-разностные уравнения, и
Qn = X1 (я, я + 1), Rn = -^(п, я + 1), (2.2.49) = - t _ lQnRn [X1 (я, я + 2) + QraX2(я, я+1)],
Tn = - ! _ Qnfin [й2(га, я + 2) + Z^x1 (л, я + 1)].
В случае Rn = aPQtn и Гn = rF 5* можно установить следующие свойства симметрии:
Ь = ±Ь", й = а*, 2, = -4-,
2/
= F(n) = ±F'(n),
2I
/ и* (я, от) \
«К („,„)>.
При этом уравнение (2.2.48) дает (2.2.50а) X1 (я, от) — F(n + от) ±
OO OO
± Z Z (Я, "О («" + «О • W + т) = О,
/г'=и+1 га"—ге+1
(2.2.50b) F (я) ¦= ^ (г)г^ - J] C1Z1-I,
1-і
OO
(2.2.50с) Jt2 (я, от)± Z х'Лп, n')F(n' + m) = 0,
n'-n+l
(2.2.50d) Qra = X1 (я, я + 1),
(2.2.50е) Sn = - ' . [X1 (я, я + 2) + QraX2 (я, я + 1)]. 1
Рассмотрим теперь Sn = Tn = О как частный случай. Если Sn = Tn = 0, то можно показать, что a(z), a(z) являются четными функциями от z, a b(z), Б(г) — нечетными. При этом собственные значения встречаются парами, и c1 (z+) = c;(z_). Эти2.2. Дискретные задачи 151
свойства показывают, что
(2.2.51а) + = + * = » + р>1>
I 0, /п = га + 2р,
JV/2
(2.2.51b) Fa(«)=_L J Az^dz-Y,~cilV>
Cr і
где контур Сд проходит по правой половине единичной окружности. Мы возьмем
Г X1CЛп, tri), т = п-\-2р—1,
(2.2.51с) X1 (я, т) = \ R\ ,0 р>1,