Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
3. Различные перспективы
наводящих соображений, почерпнутых из заранее известного преобразования Бэклунда (разд. 3.1). Псевдопотенциалы (разд. 3.2) представляют другой подход, опирающийся на меньшее число гипотез и в ряде случаев являющийся исчерпывающим. Чень, Ли и Ли (1979) [104] предложили метод, основанный на линеаризации, который позволяет проверить эволюционное уравнение на интегрируемость и одновременно приводит к задаче рассеяния, если таковая существует. Сатсума (1979) [446] предложил использовать солитонные решения и билинейные формы для построения преобразований Бэклунда и задач рассеяния. Геометрические и теоретико-групповые методы также использовались в ряде частных случаев.
Частные решения. Одна из привлекательных точек зрения состоит в том, чтобы отказаться от исследования общего решения и ограничиться изучением точных частных решений задачи (т. е. iV-солитонных на бесконечном интервале и УУ-зонных потенциалов для периодической задачи). «Прямые» методы поиска этих частных решений развиты в разд. 3.3 и 3.6. Они обычно более просты, чем МОЗР, и позволяют избежать некоторых деликатных аналитических вопросов, возникающих при изучении задачи рассеяния. Прямые методы позволяют к тому же получить решения вне класса функций, в котором традиционно применяют МОЗР. Этот более широкий класс содержит рациональные решения (разд. 3.4), многомерные солитоны и лампы (разд. 3.6) и автомодельные решения, содержащие, в частности, трансценденты Пенлеве (разд. 3.7).
Что происходит? Ряд работ в этой области ставит целью не расширение класса уравнений, интегрируемых при помощи МОЗР, а выяснение вопроса, почему это «чудо» происходит. В некоторых работах предполагается, что теория групп лежит в основе этого удивительного метода (см., например, [122], [271], [60], [208]). Сходные точки зрения исходят из дифференциальной геометрии (Эстабрук (1981) [150]) и из алгебраической структуры гамильтоновых операторов (Гельфанд, Дикий (1977) [181], Адлер (1979) [31], Лебедев, Манин (1978) [322], Дикий, Дорфман, Гельфанд (1979) [140]). Дейфт и Трубовиц (1980) [137] рассматривают задачи, решаемые при помощи МОЗР, в терминах бесконечного числа связанных осцилляторов, лежащих на поверхности гиперсферы. Это описание применимо как в случае периодической задачи, так и для задачи на бесконечном интервале.
Исследование структуры Другая точка зрения — просто принять, что рассматриваемые задачи обладают богатой структурой, последовательное изучение которой расширит нам арсенал 3.1. Преобразования Бэклунда
179
математических приемов и объектов. Примерами могут служить развитая Мак-Кином и Трубовицем (1976) [368] теория гиперэллиптических функций с бесконечным числом точек ветвления и работа Новикова и Кричевера (1980) [402] об обобщенных гиперэллиптических функциях.
Итак, имеется довольно много различных подходов к задачам, решаемым с помощью МОЗР. Некоторые из них мы обсудим в этой главе.
3.1. Преобразования Бэклунда. Этот раздел посвящен преобразованиям локально определенных решений уравнений в частных производных. Может случиться, что эти локальные решения допускают продолжение до глобальных решений, обсуждающихся в предыдущих главах, но эта возможность здесь не существенна. В настоящем разделе и в разд. 3.2 под решениями дифференциального уравнения в частных производных следует понимать локальные решения, определенные в некоторой открытой односвязной области, которые не обязаны удовлетворять каким-то конкретным граничным и начальным условиям. Кроме этого, считается, что решение классическое (т. е. в сильной топологии). Например, если u(x,t) является решением уравнения КдФ, тогда (и, Ut, Ux, Uxx, Uxxx) должны быть все определены поточечно в некоторой области и
Ut -f 6UUx + Uxxx = 0.
Для простоты мы ограничимся рассмотрением систем дифференциальных уравнений в частных производных в двумерном пространстве-времени (х, t). Различия между временной и пространственной переменными отсутствуют, так как анализ является локальным. Для обозначения дифференциальных уравнений в частных производных мы будем использовать выражения
D(U) = O и E(v) = 0.
В зависимости от контекста это могут быть одно и то же или разные уравнения.
Мы начнем с некоторых определений.
Определение. Говорят, что соотношение
L (и, V, их, vx, ut, vt, ...; х, 1) = 0
(или набор таких соотношений) отображает E(v) = 0 в D(и) = = 0, если любое (локальное) решение уравнения ?(1)) = 0 однозначно определяет некоторое (локальное) решение уравнения D(M) = O.
Пример. Из преобразования Миуры
(3 1.1)
U = -Vx-V2 180
3. Различные перспективы
следует, что
ut + Ьиих + Uxxx == — H- — 6v* +
Поэтому каждое решение уравнения мКдФ отображается с помощью (3.1.1) в некоторое решение уравнения КдФ.
Пример. Преобразование Коула [114] и Хопфа [234]
(3.1.2) и =-2v
отображает решения уравнения теплопроводности в решения уравнения Бюргерса [81], так как (3.1.2) означает, что
(3.1.3) ut + иих — VUxx = — -у- — (9/ — v9XJC).
Отметим два момента. Во-первых, это обычное определение отображения, и нет никакой необходимости вводить новую терминологию для описания замен (3.1.1), (3.1.2). Во-вторых, эти отображения не определяют однозначно ни D (и) = 0, ни ?(и) = 0. Так, уравнение
