Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
(3.1.4) Ui+ Cux = 0
отображается в себя и преобразованием (3.1.1), и (3.1.2). Фактически преобразование (3.1.1) отображает последовательность «высших» уравнений мКдФ в последовательность «высших уравнений» КдФ; аналогичное утверждение можно сделать и относительно преобразования (3.1.2) (упр. 1, 2).
Определение. Набор соотношений, включающих {х, t, и (х, ^)}, {X,T,V (А", 7")} и производные и н V, является преобразованием Бэклунда (ПБ) между D(w,x,t) и E(V;X,T), если:
(i) ПБ является интегрируемым для V, если и только если D (и) = 0\
(ii) ПБ является интегрируемым для и, если и только если ?(10 = 0;
(ІІІ) по заданному и, такому, что D(и) = 0, ПБ позволяет определить V с точностью до конечного числа констант, причем E(V) = 0;
(iv) по заданному V, такому, что ?(1/) = 0, ПБ позволяет определить и с точностью до конечного числа констант, причем D(H) = O.
(Напомним, что vx = f(x,t) и vt = g(x,t) называются интегрируемыми относительно V, если И ТОЛЬКО если Vxt = VtX, т.е. они должны быть совместными.)
Пример. В теории комплексного переменного соотношения Коши — Римана
(3.1.5)
uX = Vg, Vx = -Uy 3.1. Преобразования Бэклунда
181
являются ПБ для уравнения Лапласа в себя. Чтобы убедиться в этом, исключим и из (3.1.5) и получим
(3.1.6) vxx+ Vyg = O.
По заданному v, удовлетворяющему (3.1.6), (3.1.5), можно определить и С ТОЧНОСТЬЮ ДО ОДНОЙ константы Uq = и(х0, Уо) ¦ Так, если соотношения (3.1.5) симметричны, то функция и также должна удовлетворять уравнению (3.1.6).
Пример. Преобразование, обсуждавшееся Бэклундом (1880) [46], имеет вид
ґ и + v\ . ( и — v\ Ґ и — v\ 1 . ґ u + v \
(3.1.7) ( 2 X = asin I 2 )' HHi=TsinH-J-Оно отображает решения уравнения sin-Гордон
(3.1.8) cpti = Sincp
в себя. Этот факт легко проверить перекрестным дифференцированием (3.1.7).
Пример. Задачей рассеяния для уравнения КдФ является
(3.1.9а) ^xx + (S2 + ") Ф = О,
(3.1.9b) ф, = (а (?) + их) г|> + (4?2 - 2и)
Эти соотношения также являются преобразованиями Бэклунда между КдФ и уравнением
(3.1.10) ^ + =
В этом случае (3.1.10) получается исключением и при помощи (3.1.9а). Уравнение КдФ получается как условие совместности (?^, = ^jc), Отметим, что и однозначно определяется по г|з (за исключением точек, в которых равно нулю), при этом ^ определяется ПО U С ТОЧНОСТЬЮ ДО двух ПОСТОЯННЫХ (l|) и г|)* при
{хо, M) •
Разница между преобразованием Бэклунда и отображением состоит в следующем. При заданном v отображение однозначно определяет и, но не конкретизирует ни уравнения D (и) = 0, ни E(v) = 0. Преобразование Бэклунда не обязательно определяет и однозначно даже при заданном v, но конкретизирует и D(и) = 0, и ?(и) = 0. Часто ПБ можно построить из отображения, задав подходящее эволюционное уравнение. Пример.
(3.1.11а) vx = — u — v2,
(3.1.11b) Ut = 6v2vx — vxxx
являются ПБ между уравнениями КдФ и мКдФ. Отметим, что (3.1.11а) есть в точности (3.1.1). При желании (3.1.11b) можно 182
3. Различные перспективы
переписать в виде, не содержащем производных по х от v, воспользовавшись несколько раз соотношением (3.1.11а).
Аналогично (3.1.9а) представляет собой отображение из г|) :в и (в области, где -ф Ф 0).
Для сравнения приведем несколько других возможных типов преобразований.
(i) Простейшими являются точечные преобразования
(3.1.12) u = u(v\ х, t).
Если задана двумерная поверхность, определяемая с помощью v(x, t), то соотношение (3.1.12) определяет новую поверхность. При этом никаких свойств дифференцируемости не предполагается. Примером служит (3.1.1)1).
(ii) Контактные преобразования (или касательные преобразования, или преобразования Ли) характеризуются следующим геометрическим свойством: поверхности, в одном пространстве имеющие общую касательную в некоторой точке, отображаются в поверхности другого пространства с общей касательной в соответствующей точке. Если v(x,t) отображается в и(Х,Т), то преобразование является контактным, если
(3.1.13) du — uxdX — ит dT = (dv — vx dx — vt dt) p,
где p — функция от (у, Vx, vt", х, t), не имеющая нулей. Теория таких преобразований была развита в работах Ли; можно также сослаться на книгу [166]. Примером может служить преобразование годографа, используемое в газовой динамике, которое меняет роли зависимых и независимых переменных2). Однако эти преобразования отличаются от ПБ, поскольку в (3.1.13) не требуется, чтобы и, V удовлетворяли какому-нибудь конкретному уравнению в частных производных.
(iii) Контактные преобразования можно обобщить, потребовав сохранение контактной структуры более высокого порядка. Такие преобразования были названы преобразованиями ,Ли — Бэклунда (Андерсен, Ибрагимов [41]). Наименование может сбить с толку читателя, ибо приведенное здесь преобразование не имеет очевидной связи с определенным в этом разделе преобразованием Бэклунда (см., однако, [164], [237]).
Здесь авторы привели неудачный пример, так как отображение (3.1.1) 'содержит производную vx. Точечное преобразование обычно определяют как отображение вида и — u(v, х, t), X = X(v, х, t), T — T(v, х, t), причем функции и, X, T не зависят от производных vx, ..., и якобиан преобразования отличен от нуля. В этом случае преобразование является локально обратимым по теореме о неявной функции. — Прим. перев.
