Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
Можно показать (см., например, [143]), что решение (2.3.57) уравнения КдФ можно выразить через подходящую алгебраическую функцию на 2УУ-мерном торе, а именно d2
(2.3.58а) и = — 2 In ©г Оь • • • > %) + const,
где 0 — тэта-функция Римана, (2.3.58Ь) Є(ті„ ..., Tk) =
оо . N N
= Z exP (Ч Z BikMiMk + Zмм).
M = M1.....Mjv = -OO \ /, fc = l fe = l J
а матрица Bjk определяется следующим образом:
(2.3.58с) Bik= § Qi (E).
h
Циклы $k на римановой поверхности R не пересекают циклов а,- при /' ф k, а ос/, ?/ пересекаются в одной точке E2/ (рис. 2.3). 172
2. МОЗР в других постановках
Циклы а/, Р/ представляют собой циклы на деформированной iV-зонной римановой поверхности. Константу в (2.3.58а) и фазы в (2.3.55а) также можно представить в явном виде на этой римановой поверхности. Заинтересованный читатель может обратиться к работам Итса и Матвеева [240], Матвеева [355], Дубровина, Матвеева, Новикова [143]. В действительности Итс и Матвеев [240] построили довольно общее решение (2.3.58) непосредственно (т. е. не обращаясь к описанной конструкции). Их решение является почти-периодической функцией как по x, так и по t.
Здесь мы не будем детальнее обсуждать результаты, относящиеся к периодической задаче. Однако мы должны отметить,
что в этом направлении было получено много важных результатов. В дополнение к уже перечисленным работам мы рекомендуем заинтересовавшимся читателям следующие статьи: Кричевер [292], Марченко [352], Флашка и Мак-Лафлин [159], Мейман [373], Чередник [106].
Пока эта теория не имеет широких приложений. Недавно Флашка, Форест и Мак-Лафлин [158] рассмотрели медленные модуляции этих Л/'Зонных потенциалов. Задолго до этого Уизем [505] разработал теорию однофазных волн, а Абловиц и Бенни [4] и Абловиц [1, 2]—многофазных волн. В последней работе численное интегрирование использовалось с целью показать существование многопериодических мод (несмотря на присутствие малых знаменателей). Преимущество настоящей теории состоит в возможности построения явного аналитического представления решения.
Раздел 2.1
1. (а) Доказать, что функции ф^-ад* и ^(зявляются аналитическими в нижней полуплоскости, a ip<»e-i?d,x и ф(3)e-i?d3x — в верхней полуплоскости.
(Ь) Перейти к пределу х-»-» и получить аналогичные результаты для а\\, &зз, а33, Ь\\.
Рис. 2.3.
Упражнения Упражнения
173
2. В (2.1.1) положить
iQ = const, О,
iR = const, О,
UKi
1*1 > L1, I X I < L2,
I * I > и,
остальные Na = 0. Вычислить данные рассеяния.
3. Показать, что каждый из не зависящих от времени коэффициентов оц и а33 дает бесконечную серию законов сохранения. Отличаются ли эти серии? Вычислите три первые плотности в каждой из серий. Имеется ли рекуррентное соотношение для вычисления п-й плотности? Разложение а22 также дает серию законов сохранения.
4. (а) Какие условия следует наложить, чтобы нули функций в (2.1.46) соответствовали нулям функций й[Ъ)?
(Ь) Показать, что в этом случае имеются солитоны Q2;. Что происходит с Qif, Q3f?
5. Обсудить различие между связанными состояниями (отвечающими дискретным собственным значениям) в задачах рассеяния 2 X 2 и З X 3.
Раздел 2.2
1. Аикава и Тода [34] показали, что
представляет собой интегрируемое уравнение, которое содержит в себе в качестве частных случаев и цепочку Тоды, и уравнение КдФ.
(а) Показать, что преобразование
ап — ап~ і = — In (I +аип) переводит цепочку Тоды (2.2.1) в
переводит (*) в (*-:;•). Так как уравнение («•«-) интегрируемо, а преобразование является простой обратимой заменой координат, то и уравнение (*) тоже интегрируемо. Какая задача рассеяния связана с ним?
{dt + (a-a-')dx}4n{\+au) = = а~2 {и (х + Vа ) и(х — -у/a ) — 2и (х)}
(**) Щ In (1 + аип) = а (ия+, + ия_, — 2ип).
(b) Показать, что (*) сводится к КдФ при а-+О
(c) Показать, что преобразование 174
2. МОЗР в других постановках
2. Найти дискретизацию уравнения sin-Гордон в конусных координатах. Более сложная задача — найти дискретизацию в лабораторных координатах. Интегрируемая дискретизация этого уравнения в лабораторных координатах до сих пор не найдена. (См. [11*, 12*]. — Перев.)
3. Докажите разрешимость (2.2.48). См. разд. 1.3, (1.3.30) и далее.
4. (а) По аналогии с (2.2.63)-(2.2.65) найти рекуррентные формулы для бесконечной последовательности законов сохранения, если Sn, ТПФ 0 (см. (2.2.22)). Вычислить три первых закона сохранения. При каком выборе Q, R, S, T имеются положительно определенные плотности законов сохранения (т. е. «энергия»)? Как это связано с разрешимостью уравнения (2.2.48) в упр. 3?
(b) Найти «формулы следов» для цепочки Тоды. Как они связаны с интегралами Хенона [207]?
(c) Найти переменные действие — угол для цепочки Тоды. Дифференциально-разностные уравнения возникают как модели одномерных кристаллических решеток. Эти модели являются естественными кандидатами для квантования. Квантовомехани-ческие эффекты часто оказываются существенными в решеточной динамике. Формулировка этой проблемы в терминах переменных действие — угол может оказаться необходимым шагом в процессе квантования (см. также разд. 4.5).
