Солитоны и метод обратной задачи - Абловиц М.
Скачать (прямая ссылка):
2) Указанное здесь преобразование годографа относится к точечным преобразованиям (см. предыдущее примечание). Примером контактного преобразования является хорошо известное преобразование Лежандра. — Прим. перев. 3.1. Преобразования Бэклунда
183
(iv) Пирани (1979) [423] дал другое определение ПБ на языке локальных расслоений джетов.
Сейчас мы перейдем к главному вопросу. Какое отношение имеют преобразования Бэклунда к солитонам и МОЗР? Существует много ответов на этот вопрос, но наиболее фундаментальным нам кажется следующий: задача рассеяния и связанная с ней эволюция по времени, образующие в совокупности, метод обратной задачи рассеяния, являются также преобразованием Бэклунда. В действительности это соответствие можно, доказать довольно легко для широкого класса задач.
Теорема. Пусть
(3.1.14) Vlx + It1Vl=QV2, v2x — IrQV2 = ги„
(3.1.15) Vlt = Aul + Bv2, V2t = Cvl-Av2,
и пусть u = (q, г) удовлетворяет системе эволюционных уравнений D(u) = 0 совместно с (3.1.14) и (3.1.15) с полиномиальным законом дисперсии. Тогда для всех ? соотношения (3.1.14) и (3.1.15) представляют собой преобразование Бэклунда между D(u)==0 и E(v,%) = 0, где ?(v,?) = 0 — это некоторая система двух дифференциальных уравнений на v = (ui,u2), зависящая от Z и не зависящая от и.
Доказательство. По предположению условие интегрируемости системы (3.1.14), (3.1.15) для v —это Z)(u) = 0; это есть условие (і) в определении ПБ. Затем при заданном и, удовлетворяющем уравнению D (и) = 0, решение задачи рассеяния определяет V с точностью до двух констант (в гл. 1 они были зафиксированы, скажем, выбором граничных условий при х->-+оо). Таким образом, выполнено условие (ііі) в определении. При любом заданном v, причем ни v\, ни U2 не обращаются в нуль в некоторой области, вектор и однозначно определяется с помощью (3.1.14); это условие (и). И наконец, так как дисперсионное соотношение линеаризованного уравнения D(u) = 0 является полиномиальным, то коэффициенты (А, В, С) можно выразить через и и производные по X конечного порядка (см. разд. 1.2). Затем, воспользовавшись соотношениями
(3.1.14), можно выразить (А, В, С) в терминах ?, v\, Vi и производных по X конечного порядка. Подставив результат в
(3.1.15), получим систему E(v, ?) = 0, которой должен удовлетворять вектор v. Итак, мы продемонстрировали выполнение условия (iv) и завершили доказательство теоремы. ?
Возможность представления задачи рассеяния как ПБ не ограничивается случаем эволюционных уравнений с полиномиальным дисперсионным соотношением или данным частным случаем задачи рассеяния. Мы не будем здесь пытаться доказывать более общую теорему, а некоторые примеры, выходящие за рамки этих ограничений, даны в упражнениях, 184
3. Различные перспективы
Теперь у нас имеются три различные интерпретации МОЗР:
(1) МОЗР — это обобщение преобразования Фурье, применимое для некоторых нелинейных уравнений.
(2) МОЗР —это каноническое преобразование к переменным типа действие — угол вполне интегрируемой гамильтоно-вой системы.
(3) МОЗР — это преобразование Бэклунда.
Справедлива каждая из этих интерпретаций, но подчеркивают они разные аспекты МОЗР. Дает ли какая-нибудь из них удовлетворительный ответ на вопрос «почему же работает МОЗР?» — это до некоторой степени зависит от вкуса читателя.
Если известно, что данное дифференциальное уравнение имеет однопараметрическое семейство ПБ (т. е. определена задача рассеяния), связывающих его с семейством других уравнений, то нет ничего удивительного в том, что можно построить ПБ этого уравнения в себя. Простейший способ сделать это предложил Чень [101, 102]. Чтобы проиллюстрировать его метод, выведем ПБ уравнения КдФ в себя, исходя из задачи рассеяния для КдФ. Если определить V = тогда (3.1.9а) дает
(3.1.16а) Vx = -Z2-U-V2,
а (3.1.10) эквивалентно
(3.1.16b) vt = b{v2 + l2)vx-xxxx.
Это преобразование является простым обобщением (3.1.11) и сводится к нему при Z2 — 0- Существенным в методе Ченя является следующий момент: если v — решение уравнения (3.1.16b), то получим два различных решения ими' уравнения КдФ из «одного и того же» v.
vx = — z2 — и —¦ v2,
(ЗЛЛ7) {-v)x = -Z2-u'-(-vf.
Складывая и вычитая, получим
, ,„, и 4- и' =."1 о и — и'
(3.1.18) --=?+02,
Определим потенциальную функцию w, такую, что и = Wx; при этом из (3.1.18) следует, что
V,
(3 1 19)
^ / W + w' \ _ У2 I ( W — w'
~~ V 2 Jx ~S + V 2 J ¦
Эта «х-часть» преобразования Бэклунда уравнения КдФ в себя была найдена первоначально Уолквистом и Эстабруком [496]. 3.1. Преобразования Бэклунда
185
Вторая компонента находится подстановкой (3.1.19) в (3.1.16b):
(3.1.20) (^1), + + = 0.
Равенства (3.1.19), (3.1.20) определяют ПБ уравнения
(3.1.21) wt + "iw\ + Wxxx = 0
в себя. Решение уравнения КдФ находится по формуле и = wx.
Важный момент здесь состоит в том, что и' можно построить из и, поскольку замена i>->-(—v) сохраняет (3.1.16b), но изменяет (3.1.16а). Непосредственно воспользоваться этим трюком в задаче рассеяния нельзя, поскольку замена г|)->-(—?) не меняет ни (3.1.10), ни (3.1.9а). В этом случае можно воспользоваться симметрией ^->• 1/і|), не меняющей соотношение (3.1.10), но изменяющей (3.1.9а). Уравнения, соответствующие (3.1.17), в этом случае имеют вид
