Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
В первой группе задач речь идет о совместной покупке, их условия могут быть выражены с помощью одного частного вида системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Пусть ах, а2 — количества монет, которые вносят покупатели при первой и второй попытке сообща купить вещь. Стоимость этой вещи обозначим через у, а через х обозначим количество людей. При первой попытке получается некоторый «избыток» монет ЬА, при второй — «недостаток» Ь2. Таким образом, получается система вида
а2х—у=Ь2,
для решения которой предложен табличный метод «избыток-недостаток». Рекомендуется составить таблицу
и из нее получить искомые величины.
„_Д1&2 — Д2&1 „_&2 — &1
* о>2 — о>\ а2 — аг
Правило гласит:!
«Избыток-недостаток. Правило: расположи избыток, недостаток вместе с нормами, которые вносятся при покупке вещи сообща:
18 Мнимые числа были введены в XVI в. итальянскими алгебраистами для того, чтобы распространить полученное ими решение кубического уравнения на неприводимый случай: все корни — действительные числа, но в процессе решения без комплексных чисел обойтись нельзя.
196
избыток и недостаток, каждый из них, помести под нормами. Перемножь с ними нормы, которые вносятся, крест-накрест, сложи, это ши. Сложи избыток и недостаток, это фа. Если имеются дроби, то приведи их к общему знаменателю. Сопоставь и расположи нормы, которые вносятся, из большей вычти меньшую, на этот остаток раздели ши и фа. Ши дает стоимость вещи, фа — количество людей» [50, с.-491—492].
Это правило изложено в трех вариантах, поскольку рассмотрены также случаи, когда аг, а2 взяты так, что Ъ1 одинаковых знаков (правило называется «оба избытка, оба недостатка»), и когда взято так, что Ь2=0 (правило называется «избыток-равновесие», «недостаток-равновесие»). К первому варианту относятся задачи 1—4, ко второму — задачи 5—6, к третьему — задачи 7—8.
Здесь не пользуются отрицательными числами, и поэтому можно полагать, что этот табличный метод более раннего происхождения, чем матричный метод решения линейных систем произвольного вида.
Варианты правила «избыток-недостаток» сформулированы вся-киг раз дважды, кроме последнего, когда система упрощается:
а2х=0,
и решение очевидно. Во^второй формулировке правило представляет собой, по существу, решение заданной системы при помощи исключения неизвестной и приведение системы к одному уравнению (см. ниже § И).
Следует отметить исключительную четкость в построении этой группы задач. Текст их лаконичен, общие правила сформулированы в абстрактном виде. Для примера приведем условие первой, «образцовой» задачи книги VII «Математики в девяти книгах».
«Сообща покупают вещь. Если [каждый] человек внесет по 8, то избыток [равен] 3. Если [каждый] человек внесет по 7, то недостаток [равен] 4. Спрашивается, [каковы] количество людей и стоимость вещи? Ответ: 7 человек, стоимость вещи — 53» [50, с. 491].
Вторая группа самых разных арифметических задач (задачи 9—20) этой же книги VII решена с помощью метода двух ложных положений, который носил такое же название, как и первый.
Пусть по условию задачи
(х)=ах-{-Ь=0.
Корень заданного уравнения х0 определяется с помощью правила двух ложных положений следующим образом:
если х = х1У то у1 — ах1-\-Ь, если х = х2, то у2 — ах2 -\-¦ Ь.
Составляется таблица
/ хг х2\
}У1 УгК
197
из которой определяется искомая величина
_Х1У2 — Х2У1
Х°~ У2~Уг *
Это формула линейной интерполяции, точная только в применении к уравнению первой степени. Действительно, отсюда х =—Ь/а.
Правило двух ложных положений (Regula duorum falsorum positionum) было заимствовано европейцами у арабов, называвших его «правилом двух ошибок» (ал-Хатайм); в Китае, где оно появилось раньше, оно называлось методом избытка-недостатка 19, поскольку в китайских задачах всегда берется х± < х0 < х2, где / (х0)=0 и у±, у2 имеют разные знаки, т. е. являются «недостатком» и «избытком». Более того, задачи 1—8 первой группы могут быть решены методом двух ложных положений. В этих задачах у/х=а и может определяться по формуле аналогично:
^2 — ^1
по данным в условии аъ Ъх—ахх—у; а2, Ь2 = а2х—у. Искомые х, у можно найти, если учесть еще, например, Ъх — ахх—у. О связи одной группы задач с другой авторы «Математики в девяти книгах» хорошо знали. Об этом говорят термины «делимое» (ши) и «делитель» (фа) в правиле «избыток-недостаток», сформулированном для первой группы задач [50, с. 560]. Эти термины послужили основой для гипотезы М. Я. Выгодского о происхождении правила двух ложных положений [29]. Дело обстоит не так просто, как кажется на первый взгляд: правило двух ложных положений не описано подробно столь общим образом, как табличный метод «избыток-недостаток». Без всяких пояснений в тексте книги VII за задачами первой группы следуют задачи 9—20, каждая из которых имеет описание своего конкретного решения. Однако все задачи 9—20 решаются по правилу двух ложных положений. Самым наглядным примером служит задача 10, решение которой можно было получить, не применяя правила, непосредственным подсчетом.
«Имеется стена высотою 9 чи. Тыква растет на верху стены, стебель за день вырастает на 7 цуней. Кабачок растет внизу, у стены, стебель за день вырастает на 1 чи. Спрашивается, через сколько дней они встретятся и какова длина каждого стебля?» [50, с. 493— 494].
