Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
193
• 0 0 2\ /0 0 2'
—3 3 М 1 0 3 1
24 1 0 25 1 0
. 3 1 і/. V 4 1 1
Появилось отрицательное число. а32 =—1. Далее числа левого столбца вновь умножают на 3 и к полученным произведениям прибавляют числа среднего столбца:
Отсюда
_ 4 г~ "25" •
25 ¦ 1 — 4 ¦ 1_ 7
У~2Ь* 3 — 25' 1«3. 25 — 0.3-4 + 1-1-4 — 1 . 1 . ,25 _ 9 Х ~~ 2Ъ * 2-3 — 25 *
Таким образом, здесь производятся следующие операции с отрицательными числами:
О—1 =—1, (_1).3=—3, -3+3=0.
Для этих новых чисел здесь же, в тексте задачи 3, вводятся правила действий. Они сформулированы так, что их можно передать в алгебраической символике следующим образом:
(±а) — (±Ь) = ± (а — Ъ\
(±я)-(ТЬ)=±(а + Ь), 0 — (±Ь)=+Ь.
Это правило для вычитания. Далее определено сложение: (±а) + ( + Ь)=±(а-Ь), (±а) + (±Ъ)=±(а + Ъ), 0 + (±Ъ)=±Ъ.
Само правило гласит:
«Правило „чжен-фу": если одинакового названия, то вычитается, если разного названия, то прибавляется; если положительное без пары, то [становится] отрицательным, если отрицательное без пары, то [становится] положительным. Если разного названия, то вычитается, если одинакового названия, то прибавляется, если положительное без пары, то [становится] положительным, если отрицательное без пары, то [становится] отрицательным» [50, с. 500].
Напомним читателю, что рождение отрицательных чисел в данном случае произошло на счетной доске, где производились вычисления. Числа представлялись счетными палочками. Отрицательные числа, как числа другой природы с определенными над ними операциями, обозначались отличным образом от положительных чисел. Если положительные числа представлялись палочками красного цвета, как показывает Лю Хуэй, то отрицательные — палочками черного цвета, если первые были представлены палоч-
194
ками с треугольным сечением, то вторые — с квадратным. В книгах эпохи Сун числа изображались двумя цветами, также соответственно красным и черным; иногда перечеркивалась косой чертой последняя цифра отрицательного числа, как это делал Ли Е (XIII в.). Положительные коэффициенты обозначались иероглифом чжен, т. е. правильный, справедливый, отрицательные — иероглифом фу, т. е. ноша, долг, налог, повинность, горевать. Этим и объясняется название «правила чжен-фу».
Отрицательные числа были хорошо освоены древнекитайскими математиками, а в книге VIII они последовательно вводятся в обращение. В следующих задачах 4—6 отрицательные коэффициенты появляются в канонических таблицах. Системы уравнений этих задач соответственно имеют вид
В частности, последняя матрица (задачи 6) описана так: «Правило: составь таблицу фан-чэн. Установи, что 3 снопа хорошего урожая положительны, 10 снопов плохого урожая отрицательны, прибавка в 6 доу отрицательна. Еще установи, что 2 снопа хорошего урожая отрицательны, 5 снопов плохого урожая положительны, прибавка в 1 доу отрицательна. Вычисляй по способу чжен-фу» [50, с. 502]. Истолкование отрицательных чисел мы находим в задаче 8 книги VIII:
«Продали 2 буйволов, 5 баранов, купили 13 свиней, осталось 1000 цяней. Продали 3 буйволов, 3 свиньи, купили 9 баранов, как раз хватило. Продали 6 баранов, 8 свиней, купили 5 буйволов, не хватило 600 цяней. Спрашивается, сколько стоят буйвол, баран и свинья?» [50, с. 502].
По поводу последнего уравнения в тексте имеется такое описание его коэффициентов после приведения уравнения к каноническому виду:
«Еще установи, что 5 буйволов отрицательны, 6 баранов положительны, 8 свиней положительны, недостаток цяней отрицателен» [50, с. 502].
Таким образом, отрицательные числа получили толкование долга, недостачи, нехватки в отличие от положительных, свидетельствующих о достатке, избытке, доходе и т. д.
В остальных задачах при решении линейных систем уравнений довольно часто и свободно оперируют с отрицательными числами. Не приводя задач, мы укажем лишь, что в задачах 9, 12—16 нельзя обойтись без отрицательных чисел и знания законов их вычитания, сложения и умножения. В задаче же 6 должно было про-
бег— 11 = 7у, бх — 18 = Юг/, Зх + 6 = Юг/, 7Х 25 == Ъу, 15г/ —5 = Ъх, Ъу + 1 = 2х.
Китайские матрицы этих систем такие:
195
13*
изводиться и деление отрицательных чисел. Однако отрицательных корней уравнений в древнем Китае не употребляли.
В заключение отметим, что всякий раз отрицательные числа, впрочем как впоследствии и мнимые, появлялись формально 18. В Китае, как мы выше видели, — при распространении алгоритма решения линейных систем матричным методом на весь класс задач, в Греции — у Диофанта в связи с решением классов уравнений [33, 65], в Индии — для того, чтобы единообразно рассматривать квадратные уравнения, у Абу-л-Вафы (X в.) — при обобщении способа умножения [53]. Али Кушчи (XV в.) называл их «ложными» [38, т. I, с. 218, 338]. В Европе первым подошел к идее отрицательного числа в XIII в. Леонардо Пизан-ский, в явном виде они были у Н. Шюке (XV в.), и в середине XVI в. их употреблял М. Штифель [541.
10. Второй матричный метод. Правило двух ложных положений
В книге VII «Математики в девяти книгах» содержатся две группы задач, 1—8 и 9—20, объединенных под одним заголовком «Избыток-недостаток» (ии бу цзу).
