Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
Первая цифра осг корня х, как при делении, выбирается как наибольшее из чисел 1, 2, . . . , 9, для которого ах < х < аг +1, Аг=Б - (100ах)2 > 0.
Здесь число (ЮОо^)2 находится в такой последовательности:
(1002а1)а1>
т. е. число цзе-суанъ (см. схему) умножается на первую цифру корня дважды. В правиле этом говорится так:
«Обсуди со-де. Первую [выбранную цифру корня] умножь на цзе-суань, это делитель».
После первого умножения, или получения 1002а1э число называется делителем и размещается во второй строке снизу. Схема такова (табл. 15).
Далее следует подготовка чисел доски к выбору второй цифры корня. Для этого в правиле рекомендуется:
«Раздели на [делитель]. После деления удвой делитель, это фиксированный делитель. Возврати его [на одно деление], [полу-
211
14*
Таблица 14
Таблица 15
X корень
делимое
10000 цзе-суанъ
корень
делимое
10000 аг со-де, делитель
10000 цзе-суанъ
чишь] урезанный [фиксированный] делитель. Внизу возврати установленную счетную палочку на шаг» (табл. 16).
Таблица 16
«1 корень
А1 = 3 — (100*а1)а1 В1 = 2000 хг С = 100 первый остаток укороченный фиксированный делитель второе цзе-суанъ
Эта схема соответствует уравнению ср (у)=С1у2+В1у+А=0, где у==а2а3. При этом по схеме Горнера коэффициенты уравнения получаются именно так:
юооо 0 —5
10000^ (ЮО^К
10000 10000^ (1№*1)2 = А1* 10000ах
10000 20000^ = 10^!
Таким образом:
Ах= (100\) ах — ? = (100а.,)2 — 5,
„ 20000 оппп Вг = -тк~ ах = 2000а1в
10000
:100.
100
В результате доска приготовлена к выбору второй цифры корня. В правиле так и говорится:
«[Продолжай], как и ранее. Одну выбранную [цифру] умножь на это. Со-де прибавь к [урезанному] фиксированному делителю, И дели, со-де прибавь к фиксированному делителю, укороти возвратом, получишь [урезанный] фиксированный дополненный делитель». .;
Для определения второй цифры корня а2 ищется такое наибольшее однозначное число, что
А-(»1 + С1а2)а2>0 212
или
'[5 — (ЮОк^2] — (2000а2 + 100«2)«2 > О, 5 — (100«!+ 10«2)2>0.
Далее числа доски преобразуются, готовятся к выбору третьей цифры. Схема такая (табл. 17).
Таблица 17
корень
второй остаток
второй укороченный фиксированный
делитель
третье цзе-суанъ
где
Л2 = 5 —(100а1 + 10а2)2, ^ _ (Въ + С^ + С^ _ 200^ +
г _?±—1
Эта схема соответствует уравнению ф (;г) = С2;г2+.В2;г+.г42=0, т. е.
<|> ф = г2 + (2000^ + 200«2) % + (100«! + 10а2)2 — 5 = 0, где 2=а3. Коэффициенты уравнения ф (;г)=0 по схеме Горнера вычисляются так:
100
2000ах 100«2
~іУ + (100а!)2 (2000«і + 100«2) а2
100 2000«і+100а2 100а9
(ЮО^+Юа,
100С2 2000«! + 200а2=10?2
Как видим, эти коэффициенты подсчитаны так же и по китайскому правилу:
Л2 = (100а1 + 10а2)2 —5, В2 = 2т*1 + ш«* = 200ах + 20«2,
Г — 100_1 °2—100—/•
Далее аналогично выбирается третья цифра корня а3. В правиле только указано: «Делай, как раньше». Это значит, а3 должно удовлетворять условиям
А2 - (В2 + С2«з)«3 > 0, 5 - (100«! + 10а2 + «3)21>;0.
213
14. Квадратные уравнения в «Десятикнижъе»
Как мы видели, правило извлечения квадратных и кубических корней показано на специальных задачах «Десятикнижья». Однако в этих же трактатах «Десятикнижья» встречаются другие задачи, при решении которых необходимо извлекать корни. В «Математике в девяти книгах» это геометрические задачи книги IX, решенные алгебраическими методами с использованием теоремы Пифагора. Первые три задачи этой IX книги и правило к ним — просто формулировка теоремы Пифагора: с=\]а2 -)- б2, а — \/с2 — Ь2, Ъ = \]с2 — а2. Теорема применяется в задаче, где находится катет но гипотенузе и другому катету.
Далее в задачах 11,12,19, 20 книги IX извлекаются квадратные корни. Интересно, что с точки зрения древнего автора эти задачи принципиально принадлежат к двум различным типам задач, хотя мы бы все их отнесли просто к задачам на квадратные уравнения.
Задачи 11, 12 «вавилонского типа». В них фактически рассмотрен прямоугольный треугольник с искомыми катетами х и у и заданной гипотенузой с. В задаче И решается система
х2+у2=с2, у — х=к
именно так, как, по мнению многих, решались подобные системы в древневавилонской математике. Не приводя системы к квадратному уравнению, а используя свойства полусуммы и полуразности двух величин (что широко применялось в древней математике вообще), вводим неизвестную и
1А-2(т)в
, отсюда Ь= у -^-.
В задаче 12 решена система
х=с — а, у=с — Ъ,
где х, г/, 2 так же, как и в задаче 11, стороны прямоугольного треугольника
ъ2=х2-\-у2.
Подставляя значения х, у из системы и добавляя к обеим частям равенства 2аЬ, получим:
и - (а+Ь)]2=2аЬ.
214
Как сообщает китайское правило, х=\12аЬ-\-Ъ
г = у/Ш + (а + Ь) [50, с. 509].
Таким образом, общей формулы решения квадратного уравнения в древнекитайских трактатах нет.
Задачи 19 и 20 принадлежат к другому типу задач, именно тех, которые в обобщенном виде встречаются и у Цинь Цзю-шао, предложившего общий метод решения уравнений высших степе-
ней. Эта группа задач 17—21 «О городе» (все они начинаются словами «имеется город», а точнее, ограда) в форме квадрата (задачи 17, 19—21) или в форме прямоугольника (задача 18), в которых рассматриваются конфигурации а или б (рис. 11). Конфигурация б рассматривается в задаче 20, более других нас интересующей. При задании а и & (задачи 17, 18; в задаче 18 вместо квадрата взят прямоугольник, что не меняет метода решения) решение обходится без радикалов. В обратной им задаче 19 приходится решать уравнение
