Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
206
задолго до них таким методом пользовались в древнем и средневековом Китае. Любопытно, что даже для квадратных уравнений, при развитых алгебраических методах китайской математики, мы не находим обычной формулы корней, но обнаруживаем описание или указания относительно решения этих уравнений численным методом (см. далее § 14 даннойглавы). Источники относятся ко II в. до н. э. и позже. Уравнения 3-й степени, решенные по методу Горнера (мы будем так называть этот метод), содержатся в работе Ван Сяо-туна (VIII в.), а метод в общем виде изложен в сочинении Цинь Цзю-шао, а также у других алгебраистов этого времени (ХШ-Х1У вв.).
Возможно, под влиянием китайцев этот метод применялся для извлечения кубических корней (т. е. решения уравнений х3 = а) в XI в. Кушьяром ал-Джили и ан-Насави [38]. Этот же метод применялся для извлечения корней любой степени Насир-ад-Дином ат-Туси в XIII в. [38] и ал-Каши в XV в. [40]. В дальнейшем Шараф ад-Дин ат-Туси (XIII в.) обобщил этот метод на произвольные уравнения, именно к нему весьма близок метод Виета (1600), в котором, однако, нет удобной схемы.
Содержание метода следующее: пусть задано уравнение п-й степени
/ (*)=о,
где / (х) — многочлен: его вещественный корень х — некоторое А-значное число: х=ск_110к~1-{-. . .+с0, которое можно записать в десятичной системе в виде х=ск_г. . . с0 (математики стран ислама записывали корень, меньший 1, в виде шестидесятеричной дроби, а корень, больший 1 — в виде числа в шестидесятеричной системе). Сначала с помощью проб находился первый знак ск_г неизвестного, затем производилась подстановка х=Юк~1ск_1-\-у и с помощью «схемы Горнера»
/(я)=/(Ю*-Ч_1+г/) = <р(г/)
разлагалось по степеням у. Далее с помощью проб находился первый знак у, равный ск_2, производилась подстановка у=10к~2ск_2-\-г, с помощью «схемы Горнера» ср (у) = у*(10к~2ск_2+г) = <\> (я) разлагалось по степеням 2, с помощью проб находился первый знак ъ, равный ск_3, и т. д.
Эта процедура повторяется до тех пор, пока корень данного уравнения не будет вычислен точно или приближенно с заданной точностью.
13. Извлечение квадратных и кубических корней в трактатах математического «Десятикнижъя»
Извлечение квадратных и кубических корней [пай фан, пай ли фан) в древних китайских трактатах производилось по схеме Горнера, а не на основании бинома Ньютона, как мы привыкли это делать теперь. Правило извлечения корней второй и третьей
207
степеней сформулировано в основном сочинении «Десятикнижья» «Математике в девяти книгах» (книга IV). В трактатах Сунь-цзы и Чжан Цю-цзянь это правило применяется с учетом приближенного значения, соответственно с недостатком у одного и с избытком у другого:
а+^<\/а2 + Г<а+2^ГТ-Чжан Цю-цзянь также дает оценку для кубического корня
х
За2 + 1 *
В «Математике в девяти книгах» корни вычислены точно, т. е. извлечены только из полных квадратов. Но в комментариях к трактату Лю Хуэя уже содержатся оценки Сунь-цзы и Чжана Цю-цзяня приближенного значения корня, а также указание на извлечение корня (при помощи метода Горнера) с точностью до любого десятичного знака.
Чтобы показать извлечение корней, математик древнего Китая пользовался вполне однотипными, специально выбранными задачами, хотя, разумеется, извлечение корней могло применяться и в других случаях. Извлечение квадратного корня было равносильно отысканию стороны квадрата с заданной площадью: #=\/? или длины окружности по заданной площади круга С=\/125 (тс^З). Извлечение кубического корня демонстрировалось
на задачах, в которых находилась сторона куба с заданным объемом:
_ з —
— или диаметр шара с известным объемом: В= у -^У
^тс=^. Так, в книге IV «Математики» задачи 12—16 посвящены определению стороны квадрата, а задачи 17—18 «обвода» заданного круга при тс = 3. Приведем числовые данные (табл. 8, 9).
В задачах 19—22 этой же книги «Математики» вычислена сторона куба по данному его объему (табл. 10), а в задачах 23—24 диаметр сферы данного объема (табл. 11). Здесь тс=27/8, значение, которое во всем трактате больше не встречается.
Заметим, что задачи относительно квадратного корня содержат именованные числа, все данные измерены в единицах длины бу (шагах), применявшихся в древности при измерении полей, тогда как в задачах о кубических корнях оперируют с величинами, измеренными в единицах длины чи (китайские футы). Таким образом, если задачи с квадратами еще можно было оформить по типу древних задач на измерение полей, то задачи с кубами составлены по аналогии совершенно абстрактно.
В трактате Сунь-цзы приведены две задачи этого класса: в 19-й по площади квадрата 5 определяется его сторона х, в 20-й по площади круга 5 определяется длина окружности С данного диаметра при тг=3 (табл. 12). Значения корней взяты с избытком по указанной выше формуле.
208
Таблица 8
Номер задачи Площадь квадрата 5 Сторона х = \Л?
12 13 14 15 16 55225 25281 71824 564752 1/4 3972150625 235 159 268 7511/2 63025
Таблица 9
Номер задачи Площадь круга 5» Окружность,
17 18 1518 3/4 300 135 60
Таблица 10
