Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
203
чества для] Б; [количество для] Б и В вычти из [количества для] А; получишь для каждого его первоначальное количество» [49, с. 32-33].
Поместим эти вычисления в таблицу (см. табл. 7).
Таблица 7
А Б в
90 90 • 3 = 270 90 2 70 70-3 = 210 70 2 56 56-3 = 168 56-3 о/ 2 ~84 56 2
В конце правила описано получение искомых величин, причем вычитаемые берутся из 4-й строки, а уменьшаемые из 3-й строки. Таким образом:
°ч .3 70 56 _ 79
~9 "9"-
2
70 • 3
2
56 • 3
90 56_о9
90 70
= 4.
Мы видим, что здесь частный прием решения системы уравнений первой степени предпочли матричному методу, хотя довольно симметричная матрица системы позволила бы легко применить его.
1 1 2
1 2 1
2 1 1 ч112 140 180,
1 0 2^
1 3 1
2 1 1 112 100 180/,
0 0 2\
1 3 1 3 1 1
^44 100 18о;
0 0 2\ 0 3 1 8 1 1 ч32 100 180/.
Из последней таблицы:
2=32/8=4, у=32, х=12.
По-видимому, автору древнего учебника хотелось, чтобы учащийся был искусным в преобразовании уравнений, а не только владел одним методом, хотя и универсальным.
12. Линейные системы в книге Цинъ Цзю-шао
Весьма любопытно знать, как обстояло дело с решением линейных систем в дальнейшем, после рассмотренных выше задач «Десятикнижья» с вполне разработанным матричным методом. Сравним задачи «Десятикнижья» с аналогичными задачами Цинь
204
Цзю-шао. Отметим сразу, что Цинь Цзю-шао не совершил перехода к определителям, он значительно отошел от древнего правила в сторону большей связи чисел таблицы с коэффициентами уравнений. Цинь Цзю-шао практически отказался от вычисления корней по таблице и рекуррентным формулам и стал действовать с уравнениями. Кстати, свободные члены он записывает сверху, а не снизу.
В «Девяти книгах по математике» Цинь Цзю-шао имеются две задачи на линейные системы: 1-я и 2-я свитка 17 в девятой книге, озаглавленной «Класс задач о городском хозяйстве» (ши у лэй). Здесь собраны как алгебраические, так и арифметические задачи, требующие применения тройного правила, правила двух ложных положений и т. д.
В первой задаче решается система трех уравнений с тремя неизвестными, во второй*— система четырех уравнений с четырьмя неизвестными. Обе они заданы в канонической форме, т. е. свободные члены стоят в одной части уравнения, а члены с неизвестными— в другой, так что приведения заданной системы к канонической форме не требуется. Отрицательные числа применяются только во второй задаче. Правило у Цинь Цзю-шао сформулировано в общем виде, для этого он применил специальную терминологию, свидетельствующую о существовании понятия уравнения.
Условие задачи 1 свитка 17 «Отыскание стоимости товара»: «Задача о расчетах торгового ведомства третьего ранга. Учредили [количество] товара в стандартных цянях: каждое [эквивалентно] 1470000 гуань вэней. Вначале ассигновали 350 ли орлиного дерева, 2200 цзиней черепаховых изделий, 375 тао масличного дерева. Затем ассигновали 2970 ли орлиного дерева, 2130 цзиней черепаховых изделий, 3560 тао масличного дерева. Наконец, ассигновали 3200 ли орлиного дерева, 1500 цзиней черепаховых изделий, 3750 тао масличного дерева. Как узнать, какова стоимость каждого ли, цзиня, тао соответственно орлиного дерева, черепаховых изделий, масличного дерева? Ответ: каждый ли орлиного дерева [стоит] 300 гуань вэней, каждый цзинь черепаховых изделий [стоит] 64 гуань вэня, каждый тао масличного дерева [стоит] 180 гуань вэней» [105, с. 155—160].
Здесь задана система:
350я +2200г/+ 375z —А, 2970ж + 21 ЗОу + 35602 = А, 3200ж + 1500г/ + 3750z = 4,
где .4=1470000.
Во второй задаче задана система:
200ж + 40г/ = ?, 264г/ + 8002=5, 1670z+ 15гг = ?,
58^ж + 52гг = ?, где 5 = 106000.
205
Цинь Цзю-шао, записав свободные члены сверху, получает нули внизу справа, т. е. первое уравнение приводит к виду а'пх=Ъ'1 и т. д., так что получается треугольная система
а1пХ1 ~Ь а2пХ2 • • • Н~~ аппХп-К*
Последнее уравнение остается без изменений. Преобразование столбцов матрицы (соответствующих уравнениям) производит в том порядке, в каком ему удобно [142, с. 161—162].
Цинь Цзю-шао называет «совокупностью» свободный член (цзи), коэффициенты при неизвестных называет «количеством вещей» (у ту).
Глава вторая
решение уравнений высших степеней численным методом
Известно, что уравнения 5-й степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. для корней этих уравнений, вообще говоря, нельзя найти формулу, выраженную иррациональностями, подобную той, с которой знакомятся школьники при решении квадратного уравнения. Этот факт был доказан окончательно лишь в XIX в. Н. X. Абелем и Э. Галуа, создателем теории групп и полей. До тех же пор на протяжении всей истории науки старались разрешить эту проблему, особенно начиная с работ итальянских математиков Ш. дель Ферро, Н. Тарталья, Дж. Кардано, Л. Фер-рари, которые решили уравнения 3-й и 4-й степеней в радикалах. Не имея возможности непосредственно выразить формулой корень уравнения произвольной степени общего вида, вычислители применяли численные методы, которые разрабатывались наряду с попытками получить формулу или дать доказательство невозможности ее существования. Одним из таких численных методов, позволяющих найти корень уравнения любой степени общего вида (но многочлена), является метод Руффини — Горнера, или просто — метод Горнера, который был предложен в XIX в. каждым из авторов независимо друг от друга и почти одновременно. Итальянец П. Руффини (1765—1822) поместил заметки о таком методе в работах 1804, 1813 гг. Кстати, Руффини принадлежит первое доказательство теоремы о неразрешимости уравнений выше четвертой степени в радикалах, но доказательство оказалось неполным. Англичанин У. Горнер (1768—1837) опубликовал метод в работе 1819 г., и по его имени известна в алгебре схема вычисления коэффициентов вспомогательных уравнений в данном методе (см. ниже). Эти европейские ученые, конечно, и не подозревали, что
