Математика древнего Китая - Березкина Э.И.
Скачать (прямая ссылка):
«Имеется столб неизвестных размеров. Его стали измерять при помощи каната, [получился] остаток каната в 4 чи 5 цуней. Если измерить канатом, сложенным вдвое, то не хватит 1 чи. Спрашивается, какова длина столба? Ответ: 6 чи 5 цуней» [49, с. 36, задача 18].
Можно опять-таки в уме подсчитать искомую величину. К остатку каната в 4, 5 чи надо прибавить ровно столько, сколько не достает до земли от обоих концов каната, когда он подвешен за середину к вершине столба, именно 1+1=2. Значит, высота столба равна 4,5+2 чи. Однако правило к задаче говорит о другом ходе решения:
«Установи остаток каната в 4 чи 5 цуней, прибавь недостаток в 1 чи, всего получится 5 чи 5 цуней. Удвой это, получишь 1 чжан 1 чи. Вычти остаток в 4 чи 5 цуней и получишь искомое» [49, с. 36].
Согласно правилу вводится, по существу, еще одна неизвестная у — длина каната, и тогда условие задачи может быть представлено системой
у — ж = 4,5,
где х — высота столба. Решение получается, если сложить оба уравнения:
1=4,5+1..
Отсюда
у=2 (4,5+1), х=2 (4,5+1)-4,5
в точности по правилу.
В менее простых задачах при замене нескольких уравнений одним приходилось прежде уравнять коэффициенты исключаемых неизвестных. Для этого применяли умножение и деление коэффициентов уравнений, сложение и вычитание частей уравнений и
201
тому подобные преобразования, оставляющие уравнения эквивалентными.
Здесь нам стоит обратить внимание на две любопытные задачи из «Математического трактата Сунь-цзы», близкие друг к другу, в решениях которых можно обнаружить стремление автора к регулярности в преобразовании коэффициентов. Одна из них — задача 27 последней книги трактата:
«Имеются звери с 6 головами и 4 ногами и птицы с 4 головами и 2 ногами, всего вверху 76 голов, внизу 46 ног. Спрашивается, сколько птиц и зверей каждых в отдельности? Ответ: 8 зверей, 7 птиц» [49, с. 37].
По описанным в подлиннике вычислениям искомые величины находятся так:
46 . 2 — 76 0 46 — 4 . 8 „ х —-=-= 8, у =-г-= 7.
Такое решение, очевидно, получается из системы, в которой записывается условие задачи:
6я+4у=76, 4я+2г/=46,
умножением на 2 второго уравнения и вычитанием из него первого.
Другая задача 31 из этой же книги трактата Сунь-цзы: «В клетке имеются фазаны и зайцы. Вверху 35 голов, внизу 94 ноги. Спрашивается, сколько фазанов и зайцев каждых в отдельности? Ответ: 23 фазана, 12 зайцев» [49, с. 38]. Правило дает
у = у — 35 = 12, х = 35 — г/= 23,
что соответствует решению заданной системы
х+у=35,
2х+Ау=Ы
в таком порядке:
. с! 94 х + 2у = т
94 ~
В этом случае предпочитают произвести деление коэффициентов второго уравнения на 2. Почему же это не сделали в первом случае, от этого решение задачи только бы упростилось? Остается предположить, что вычислитель хотел сохранить порядок преобразований: первое уравнение всегда оставлять в первоначальном виде и оперировать со вторым. Первая задача по своему нарочито фантастическому условию ни коим образом не может считаться
202
практической. Эти задачи, очевидно, составлены специально для обучения решению систем двух уравнений с двумя неизвестными.
Из опыта решения таких систем, вероятно, и появился матричный метод фан-чэп.
Стоит отметить также, что нерегулярные методы решения систем линейных уравнений не потеряли своего значения после разработки матричного метода. Это особенно хорошо видно по задачам трактата Сунь-цзы. Матричный метод представлен в нем только одной задачей, тогда как вообще решается не одна система линейных уравнений. Преимущество частных методов решения отдельных систем видно на следующем примере:
«Три человека А, Б, В имеют цяни. А говорит Б~я В: „Если каждый из нас объединит половину тех цяней, которые имеет в наличии, то, добавив мои цяни, получим 90". Б также сказал А и В: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех цяней, которые имеет, то, добавив мои цяни, получим 70". В также сказал А и Б: „Если каждый из вас объединит вместе половину тех цяней, которые он имеет, то, добавив мои цяни, получим 56". Спрашивается, сколько цяней было первоначально (у каждого) из трех человек? Ответ: А — 72, Б — 32, В — 4» [49, с. 32].
В современной символике условие можно представить системой
{.+ |. + х = 90,
^ + ! + 2 = 56,
где х, г/, г — искомые суммы денег А, Б, В соответственно. Система приводится к виду
2х+ у+ 2 = 90-2, я + 2# + 2 = 70-2, х~\~ У + 2г = 56- 2. Уравнения складываются почленно:
, , 90 , 70 , 56
Я + г/ + 2=т + у + т.
Значения неизвестных х, у, 2 определяются, если вычесть соответственно из 1-го, 2-го, 3-го уравнений приведенной системы полученное уравнение. Правило гласит:
«Сначала установи в строках те [количества], о которых говорили три человека. Умножь их на 3, для каждого произведения будут [следующие количества]: для А получится 270, для Б получится 210, для В получится 168. Каждое [количество] раздели пополам: для А получится 135, для Б получится 105, для В получится 84. Снова установи для А — 90, для Б — 70, для В — 56, каждое раздели пополам. [Количество для] А и Б вычти из [количества для] В; [количество для] А ж В вычти [из коли-
