МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
-ч
151
Рис, 10.2, Схема образования магнитных островов. Тороидальна;! плазма разрезана н развернута. Далее сделан переход к полю и (ы.южегЮ возмущение радиального маїннтного поля
вых линий, идущих вдоль резонансной поверхности, как показано на рис, 10,2, г. При такой ориентации полоидальная компонента В* над резонансной поверхностью направлена слева направо, а под ней справа налево.
Пусть теперь существует малое возмущение радиального магнитного поля с синусоидальной зависимостью от полоидального-угла O, как показано на рис. Ї0.2, д. В области, где это радиальное поле положительно, силовая линия, находящаяся немного ниже резонансной поверхности, будет двигаться через резонансную поверхность туда, где полоидальная компонента В* положительна. В этой области силовая линия будет двигаться направо^ пока не достигнет области, где радиальное поле отрицательно. Это заставляет силовую линию пройти обратно вниз через резонансную поверхность, и там она будет двигаться налево, пока опять не достигнет области, где радиальное поле положительно, Этн циклические орбиты силовых линий около резонансной поверхности образуют магнитные острова, показанные на рис. 10.2, д. Далеко над резонансной поверхностью силовые линии продолжают двигаться слева направо, принимая под влиянием радиального поля волнистый вид, но нигде не оставаясь достаточно долго в области, где радиальное поле имеет один Jf тот же знак, и тем самым не пересекают резонансную поверх-ность. Поэтому последняя замкнутая магнитная поверхность образует сепаратрису между замкнутыми поверхностями островов и разомкнутыми поверхностями, расположенными над островами и под ними. Все траектории магнитного поля, показанные на рис. Ї0.2,д, представляют собой, естественно, проекции силовых линий на плоскость сечения. Реальные силовые линии в обшем случае имеют компоненту, перпендикулярную этой плоскости.
Для того чтобы увидеть, почему для образования острова или изменения его во времени требуется наличие сопротивления;
152
представим себе контур, который идет вдоль тора по силовой линии в центре острова и возвращается по силовой линии в соседней лг-точке. Так как рациональная поверхность, содержащая эти силовые линии, замыкается сама на себя после обхода вокруг тора, связывающие отрезки контура можно исключить HS рассмотрения. Чтобы остров мог изменяться во времени, должно меняться во времени радиальное магнитное поле на резонансной поверхности. Согласно закону Фарадея, чтобы это произошло, должно быть электрическое поле вдоль контура. Однако контур* всюду параллелен магнитному полю кроме частей, которые можно исключить. В модели идеальной магнитной гидродинамики, где e = —Vx В, электрическое поле вдоль магнитной силовой линии равно нулю. Однако при конечной проводимости продольное электрическое поле просто приводит к появлению токов, текущих вдоль магнитного острова.
При заданных значениях поля и возмущения радиального магнитного поля легко получить ширину магнитного острова^ Рассмотрим сначала случай геометрии плоского слоя, где х со* ответствует координате вдоль малого радиуса тора, а у — поло-идалыюму углу. Пусть резонансная поверхность находится при JC=O. Разложим B^ в окрестности этой поверхности:
В*у(х) = В'тУх+... (10.1.3)
Рассмотрим только одну гармонику возмущения магнитного поля
Bl {х, у) = Bl sm ку у. (10.1.4) >
Полное магнитное поле можно описать функцией потока, наличие которой вытекает из равенства \ B = O:
Bx - —dfydyf, Ву- д^/дх; (10.1.5)
Ф = *о + ^j- В;ух2 + ... + {Blxlky)coskyy. (ЮЛ.6)
При вычислении тока необходимо учитывать, что компонента В^у так же имеет возмущение, как и B^x.
Линии уровня этой функции потока аналогичны рис. 10.2, д. На линии д:=0 функция потока имеет минимум в я-точке сепаратрисы при kyy=7i/2:
% = %-Bxlkr (10.1,7)'
Пусть W — максимальная ширина сепаратрисы. Сепаратриса имеет наибольшую ширину в точке {х = ±WJ2, kyy = itj2) вдоль вертикальной линии, проходящей при л:=0 через О точку маг* ннтного острова
- fc> + -З" в" ("гУ + - +в*1*г (10-1-8*1
153-
Исключая — Ij)0 из (ЮЛ.7) и (ЮЛ.8), получаем выражение для ширины острова в плоской геометрии
W- A(?\lkyB^y:K (Ю.1.9)
Этот вывод легко можно распространить на любую осееиммет-ричную тороидальную конфигурацию. Выберем в качестве координат конфигурации V, 9, ф, где V — объем каждой магнитной поверхности; 6 — какой-либо полоидальпый угол вокруг магнитных поверхностей, а qp— тороидальный угол. Поле В*, определенное выражением (10.1.1) для системы с простыми вложенными магнитными поверхностями, можно описать с помощью функции винтового потока
Bt = V** Xv?+Ї- (10.1.10)
Рассмотрим теперь одну гармонику возмущения радиального полят которое можно включить в функцию потока
Ф - 'h (V) + Ф,cos M - «?)¦ (ЮЛ Л1)
Разложим в ряд в окрестности резонансной поверхности V= VCf на которой В* =0:
Ф-«.о+4-**о(^о)(^ ~Vo)2Jr ... ++fcos(mo-*p). (10.1Л2)
На основе изложенного выше ширину магнитного острова можно представить как
\Vr-V9\- 2(*,/фф)'/*. (10.1.13)
