МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим теперь нелинейное развитие тиринг-моды. Резерфорд [18] показал, что когда ширина магнитного острова такая же, как ширина пограничного слоя, становится важной новая сила в инкремент неустойчивости сильно уменьшается. Вместо экспоненциального роста во времени ширина острова начинает расти, как линейная функция времени. Это будет продемонстрировано на простых оценках в следующих параграфах.
Возвращаясь еще раз к рис. 10.3, можно увидеть, что поле скоростей может дать вклад второго порядка v 1B1 в электриче-
ское поле, что, в свою очередь, приводит к возмущению второго порядка в плотности тока вдоль магнитных островов
JW^v] Bl /Tj0. (10.2,26)
Этот ток имеет пространственную зависимость sin2ky и приводит к возникновению новой силы H2J В\ которая всюду направлена
15?-
противоположно Vі . Чтобы оценить влияние этой новой силы, приравняем мощность этой новой силы старой мощности (10.2.16):
v\JT В\^\ЛВ*. (10.2.27)
Используя (10.2,11) в (10.2Л8), прямой подстановкой убеждаемся, что эти мощности приравниваются, когда
Z^(BxIkB*)112 . (10.2.28)
¦Выражение в правой части этого уравнения — это просто ширина острова в геометрии плоского слоя (10.1.9). Поэтому из (Ш.2.28) следует, что инкремент тиринг-моды уменьшается, когда ширина юстрова становится такой же, как ширина резнстивного пограничного слоя (10.2.19).
Теперь мы можем оценить скорость роста острова в этих но-вых обстоятельствах. С помощью более строгого вывода и численного расчета можно показать, что структура магнитного острова сохраняет свою зависимость sin ky и что более высокие гармоники неважны для этой оценки. В этом случае выражения (10.2.1) и (10.2.2) можно скомбинировать и приближенно записать как
Bx ^ Ar.« Ji. (10.2.29)
На основе тех же аргументов, которые использовались при выводе ' (10.2.11), можно показать, что плотность продольного тока, протекающего в пределах ширины острова, приближенно равна
Jl ъ V Bx IkW, (10.2.30)
-где W—ширина острова, определяемая в геометрии плоского >слоя с помощью (10.1.9) или в случае круглого цилиндра выражением (10.1.14). Выражая возмущение радиального поля В1Х через
[.¦ширину острова W, получаем
-^i Was 1,66гД'/?, (10.2.31)
где множитель 1,66 взят из более строгого вывода. Так как ц и А' предполагаются постоянными во времени, выражение (10,2.31) показывает, что ширина острова растет как линейная функция времени. Существенным пунктом в этом выводе является то, что толщина пограничного слоя заменена шириной острова.
Наконец, как показали Уайт и др. [19], когда острова становятся достаточно широкими, рост ширины острова прекращается, что описывается уравнением
4tw~ (rs) І*' (Ю - Ai (10.2.32)
где rs — радиус первоначальной резонансной поверхности; &'(W) — разрыв в производной возмущения радиального магнитного поля от одного края острова до другого, а а —численная константа, которая получается с помощью сшивки плотности по-
л 60
тока и тока через сепаратрису острова. Если в прямом цилиндре круглого сечения использовать условия стационарности
т)° (г) A {r) = В°, (10.2.33)
где ?° — однородное, приложенное извне электрическое поле, то а определяется выражением:
резонансной поверхности. Как и Л', а можно определить, решая уравнение для возмущения радиального магнитного ноля в области за магнитными островами. Для пикированных стационарных профилей тока было найдено, что ширина насыщения обычно равна нескольким десятым от радиуса плазмы.
В заключение можно сказать, что после короткой фазы экспоненциального роста (10.2.21) ширина магнитного острова тнрннг-моды начинает расти, как линейная функция времени (10.2.31), когда ширина острова становится сравнимой с толщиной рези-стивного пограничного слоя и, в конце концов, ширина острова насыщается в соответствии с (10.2.32).
§ 10.3. РЕЗИСТИВНАЯ ТИРИНГЧМОДА tn^l
В § 6.5 было показано, что в цилиндрическом плазменном шнуре круглого сечения внутренняя винтовая мода т=\ неустойчива, как только значение q в центре падает ниже 1+0{^a:), где к—-продольное волновое число, а — радиус токового капала. Если резонансная поверхность ?=1 находится в области большого шира вдали от центра плазмы, то можно выделить две характерные области, В пределах поверхности q=\ каждый слой сечения плазмы имеет примерно однородную поперечную скорость, направление которой меняется на 300° па длине волны неустойчивости, В тонком же пограничном ело?, окружающем эту центральную область, существует большая обратная скорость, направленная вдоль поверхности q=\ и обеспечивающая замыкание потока плазмы. Вне поверхности q=\ поток плазмы н возмущение магнитного поля очень малы. Инкремент (G.5.9) был вычислен в § O.5 приравниванием силы, приводящей к неустойчивости и действую-' щей внутри поверхности ?=1, к инерции, играющей основную роль внутри пограничного слоя. При этих условиях ясно, что эффекты неидеальности, которые существенно меняют течение внутри пограничного слоя, при определении инкремента резистивной неустойчивости возьмут на себя роль инерции,
Если в пограничном слое существует достаточно большое сопротивление, то возникает тиринг-мода т=1 с одним магнитным островом, линейный инкремент которой равен
