МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
156
Ii
J*= ~d---dj~ = — SP--(10.2.7)
Из (10.2.1), (10.2.2) и (10.2.7) имеем
дВ1 irr, (д*в1 Л
-ЭГ ^ ^ W* - т<° [S^- ~ *а 8*)' (Ю.2.8)
Если сопротивление ті0 достаточно мало, то им можно пренебречь всюду, за исключением области около х=0, где В* исчезает. При х=0 у дифференциального уравнения есть сингулярность, и конечный член dBlx/dt должен быть скомпенсирован большой величиной S^Bx /6Ъс3, умноженной на малую величину rju.
Основное упрощение в этих расчетах резнстивной неустойчивости состоит в том, что величины д^БЧдх2, Ji велики только в тонком пограничном слое около резонансной поверхности. Если рассматривать картину крупным планом в масштабе порядка радиуса плазмы, то будет казаться, что радиальная производная J3lx имеет на радиусе резонансной поверхности разрыв
Л' = (BUrs + в) - B1J (г, - e))/5i(0. (10.2.9)
где r = — радиус цилиндра, соответствующий х=0 в геометрии ?лоя. Это приближение дает оценку для д2В\ jd$- внутри пограничного слоя:
»*1
Д'ВІ/в, (10,2.10)
где е— шнрнна пограничного слоя. Используя (10.2.10) и (10.2.7), получаем приближенное выражение для плотности продольного тока внутри магнитного острова ти ринг-моды
/іаїД'ЯІ/Аб. (10.2.11)
Параметр Д' появляется всюду в литературе по линейным ре* .зистивным тиринг-модам. Он является существенным звеном, связывающим пограничный слой и остальную плазму. Он определяется из расчета возмущения радиального магнитного поля в области вне пограничного слоя на основе уравнений идеальной магнитной гидродинамики с использованием граничных условий на стенке и главной магнитной оси плазмы. Радиальное поле, вычисленное таким образом, должно быть непрерывно на резонансной поверхности, а разрыв в его первой производной определяет Д'. Б этом разделе А' будет считаться заданной величиной. В круглом цилиндре для некоторых профилей тока У была вычислена Фюртом, Резерфордом и Селбергом [15J. Глассер, Фюрт и Резерфорд [ІG] разработали численную программу для определения Д' для любого экспериментально измеренного профиля. В геометрии плоского слоя полная задача на собственные значения
157
была решена в классической работе Фюрта, Киллина, Розснблю-та [1].
Чтобы оценить толщину пограничного слоя и инкремент соответствующей тир и н г-молы, приравняем амплитуды трех членов в1 законе Фарадея (10.2,1) и (10.2 2) внутри пограничного слоя:
aVx кВі^щМІ. (10.2.12)
Из первого и последнего членов этих равенств и из (10,2.11) следует, что
-га V>A'/6. (10.2.13)
Чтобы получить оценку инкремента, нужно определить ширину пограничного слоя е.
Уравнение для є возникает из баланса вынуждающей силы и инерционных эффектов. Чтобы оценить кинетическую энергию в пограничном слое, отметим, что Vy^vx, как показано на рис, 10.3. Это следует из условия несжимаемости vv = 0 и того факта, что полоидальная длина волны предполагается много большей ширины пограничного слоя ?е<^1:
kvl^vljK (10.2.14)
При этом скорость изменения кинетической энергии равна
tp 2
1 rK)MW)^7p4"K)W. (ю.2.15)
Ее надо приравнять отнесенной к единице времени работе вынуждающей силы (10.2,3), действующей на жидкость:
Vі F яр Vx В* Л, (10.2.16).
что дает
ТроІа;2Д' В* HBx. (10.2.17)
Для нашей оценки в качестве типичного значения В* внутри пограничного слоя нужно взять
B*ai^b. (10.2.18)
Последний шаг состоит в подстановке выражения для v} ш
(10.2.17) в (10.2.13) и в вычислении є и у. В результате ширина пограничного слоя оказывается равной:
ba/_P5!ALV/& ^S^H^a)^(^n^Y2r\ (10.2.19) \2 (kB*)* ) \Я ч /
Выражение для инкремента непосредственно следует из (10.2.13):
T 0,55(A')4'5 [ р I , (10.2.20>
158
где множитель 0,55 взят из более точного расчета. Этот инкремент резистивной тирннг-моды можно записать в виде
T - 0,55?*» п , (10.2.21)
где п — тороидальное волновое число;
T^=- CL2PJr1 (10.2.22)
время диффузии поля в радиальном направлении, а
і д = a;VA, VA ^ В20!(К,)^ (10.2,23)
альфвеновское пролетное время поперек плазмы. Можно сказать, что в таком виде инкремент на 2/5 является альфвеновским и па 3/5 диссипативным—промежуточным между МГД-масштабом и масштабом процессов переноса. Параметр
S = хй/хл (10.2.24)
называется магнитным числом Рейнольдса. В высокотемпературной плазме токамака S обычно порядка 10е и отсюда очевидно, что альфвеновские и резистивные масштабы хорошо разделены, а толщина пограничного слоя очень мала по сравнению с радиусом плазмы, несмотря на зависимость от S в степени 2/5. Вопрос 10.2,2, Условие
Д'>0 (10.2.25).
является необходимой предпосылкой для неустойчивости тиринг-моды. Почему?
Вопрос 10.2Л. Как могло бы изменить приложенное извне, винтовое поле инкремент резонансной с ним тиринг-моды? Увеличит или уменьшит приложенное: извне поле величину Д'?
Вопрос 10.2.4. Чему равна ширина резистивного пограничного слоя по сравнению с ионным ларморовским радиусом для высокотемпературной плазмы токамака (Г^7\«1-М0 тоВ, яс~10и см-3, В ^ 5 Тл, а ж 20—50 см,
100—200 сч)? Каков инкремент по сравнению с частотой столкновений или с частотой диамагнитного дрейфа? Эти оценки необходимо сделать, чтобы определить пределы применимости резистивной МГД-тсории,
