МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
§9.2. НЕУСТОЙЧИВОСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ
Очень простой иллюстративный пример нелинейного развития1 винтовой неустойчивости предложил Б. Б. Кадомцев [13]. Рассмотрим модель поверхностного тока для тонкой прямолинейной цилиндрической плазмы, отделенной от стенки вакуумной областью. Пусть в вакуумной области существует полоидальное (Bq — = В$аа/г) и продольное (B1 = Bz(>) магнитные поля, а внутри плазмы поля нет, Полоидальный поток между плазмой и стенкойч
140
= aLBoa\n(rCJJa). (9.2.1)
Предположим теперь, что неустойчивость превращает ,плазму в впит с одним оборотом на длине L. Из-за навертывания шнура на часть продольного поля, как показано на рис. 9.1, происходит увеличение полоидального потока
Ц-*&В„ (9.2.2)
Рис. 9.1. Иллюстрация нелинейного стабилизирующего механизма Кадомцева для йоды т=1
где s — амплитуда винтового возмущения. Поскольку полоидаль-ный поток во время движения должен сохраняться, продольный ток и полоидальное поле должны уменьшиться при увеличении деформации. Новое равновесие достигается, когда продольный ток в плазме уменьшится до нуля, так что останется только первоначальное однородное магнитное поле. Радиус |, при котором это произойдет, определяется сохранением потока
»* - Ф.и => «S2 &г = aLBt, In (r„Ja). (9.2.3)
В отсутствие вязкости или других диссипативных эффектов тллазма должна была бы проскочить эту точку, а затем отскочить назад из-за токов отражения в стенке. Если плазму остановить в новом равновесии, то она стремится подойти к стенке, так как нет силы, удерживающей ее неподвижно в однородном поле. Этот простой пример иллюстрирует только роль сохранения потока в нелинейной эволюции. Он не выясняет причину неустойчивости и ее энергетический источник. Даже условие неустойчивости q,><\ здесь не появляется.
Вопрос 9.2.1. Изменится ли результат, если вакуумную область заменить бесспловой плазмой или средой с бесконечной проводимостью, в которой первоначально нет токов?
Более детальный анализ для плазмы с однородным током в случае большого аспектного отношения провели Резерфорд, Фюрт и Розенблют [12], Вблизи нижней границы устойчивости по ц, когда винтовая неустойчивость почти стабилизирована стенкой
m-nqa<l-X, X = (ajr^Y<\ (9.2.4)
амплитуда винтового равновесия
( V__2(1—Jf + пда-т) (Q 9 -v
Hl
К сожалению, вблизи ,верхней границы по q (критерий Круска* ла — Шафранова)
0<Cm — nqa (9,2.6)'
амплитуда винтового равновесия очень чувствительна к профи-лю тока в плазме и для него, по-видимому, нет надежной аналитической оценки.
Розенблют, Моптичелло, Штраус н Уайт [5} выполнили численное исследование винтовых неустойчивостей со свободной грани* цей, Они пользовались описанной в § 9.1 моделью с ? = 0, большим аспектным отношением и винтовой симметрией .Они нашли,, что при параболическом профиле тока в первоначальном цилиндрическом равновесии мода т=\ приводит к большой деформации поверхности плазмы, даже если стенка находится близко к плазме (рис, 9.2). На рис. 9.2 отдельные фигуры показывают сечения винтового равновесного шнура в состоянии с минимальной энергией при разных значениях q на границе плазмы. Для q вблизи верхней границы области неустойчивости (рис, 9.2, а) виден намек на образования «пузыря», предсказанного Б. Б, Кадомцевым и О. П, Погуце [Ї4], при котором винтовая трубка вакуумного магнитного поля стремится проникнуть в плазму. Одно из утверждений теории пузырей состоит в том, что в состоянии с минимальной энергией внутрь плазмы захвачена часть вакуумной: области. Однако такой процесс сильно подавляется широм.
Вопрос 9.2.2 [14]. Каково изменение магнитной энериш, когда трубка вакуумного поля проникнет в центр плазмы? Предположим, что плазма несжимаема и что в трубке содержится часть полоидального потока. Когда трубка достигает центра плазмы, она образует тонкий прямой цилиндр с потоком я^^БгО4-
Рис*, 9.2. Насыщение модъг т=\ п цилиндрическом плазменном шпуре с широм [параболический «МО] \Щ
142
Рис. ЯЗ. Насыщение моды т=2. в цилиндрическом шнуре с парабо* лическим то.чо.м [5]
При уменьшении q (рис. 9,2,6, о) неустойчивость сдвигает плазму ближе к стенке, но винтовая деформация при этом более слабая. Рис. 9.2, а соответствует q на левой границе зоны неустойчивости, когда моду стабилизируют токи отражения в стенке.
На рис. 9,3 показано сечение винтового равновесия, к которому приводит винтовая мода га=2. Здесь с трудом можно увидеть какую-либо деформацию поверхности плазмы. Это хороший пример, когда неустойчивость, которая первоначально казалась опасной из-за своего большого инкремента и широкой пространственной протяженности по сравнению с внутренними перестановочными модами, теперь кажется относительно безвредной.
Из опыта работы с моделями большого ? и более коротких длин волн замечено, что если находиться далеко от границы устойчивости, то эти винтовые неустойчивости стремятся выбросить плазму на стенку, где она разбрызгивается подобно жидкости. Пока еще неизвестно, какие условия надо наложить на ?, длину волны и вязкость, чтобы получить небольшие деформации, показанные на рис. 9,2 и 9,3.
