МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
Wr--ГІ 43-*{^4B!p-I>°|vS|2}, (8.2.1)
где возмущение магнитного поля В1 связано с вектором смещения соотношением (5.2.5)
В1 = V X (S X B0), (8.2.2)
Вклад от возмущения поверхности плазмы (5.4.6) равен
BIi^e -—i- J dS ¦ [j[V ^ (B0)2]] (n-g)2, (8.2.3)
где Ц ]] означают скачок при переходе границы плазмы изнутри наружу. Наконец, вклад от внешней вакуумной области (5.4.5) равен
тВгК--^а*х^-\&\\ (8.2.4)
вэк
123
Для определения Гранины устойчивости требуется возмушснпсг минимизирующее bW. Вклад {8.2.I) от собственно плазмы минимизируется несжимаемым смешением VS-0 и вакуумным возмущенным магнитным полем \ хВг = 0. Вклады OW^ и 6 Wn^c при этом сводятся к аналогичному выражению, которое наиболее легко рассчитать, полагая
В1 = у?' T2? - 0 Ф-2-~>)
и используя затем теорему Гаусса
\iPx I В1]3 - ^s-v'f'f- (8.2.6)
При этом все слагаемые в OW сводятся к поверхностным интегралам. Отметим, что скалярный потенциал <р ,в обшем случае неоднозначно определен, так как область многосвязная.
Вопрос 8,2.1. Можно ли совместить вектор несжимаемою смещении (8-2 2) с вакуумным возмещением магнитного поли шгутрз* плазмы?
Чтобы вычислить вклад поверхностного члена (8.2.3), разобьем (B0)2 на квадрат полоидалыюй п тороидальной компонент магнитного поля. Поскольку каждая из них является вакуумным
полем уХ B = O, можно написать — ^B'1 - В — 52В*уВ-Ь
+ ВВ-^|В|. Первое слагаемое—это обычное выражение кривизны, которая записана теперь для B^0n п отдельно, а второй член из (Ws выпадает, так как В° тангенциально поверхности плазмы. Поскольку В°ил =0 внутри плазмы (для оессимметричного равновесия), выражение (8.2.3) можно представить в виде
ws = ¦ і SdS ¦ {KoABl,.^)'1- ~ [[(Ap)=!l!(n •S)5-
где km.! = Вш>.т¦ V ВШ)Л, а кШ1>—R/?> Эти слагаемые в 6VV^ являют-ся дестабилизирующими там, где радиус кривизны направ тем в плазму, її стабилизирующими, где радиут кривизны направлен от плазмы. Вогнутые поверхности являются стабилизирующими, тогда как выпуклые части поверхности дают дестабилизирующий вклад.
Чтобы продемонстрировать дестабилизирующий эффект больших ?, рассмотрим модель поверхностного тока для плазмы в прямом цилиндре круглого сечения. Возмущение магнитного поля внутри плазмы равно
Bi - ¦ v<p, ? - - В\ вну11, la И - *г)Ь (8-2.8)
так что вклад в потенциальную энергию равен
Шг Jrt^(B\^y\ (8.2.9)
124
где ^tmyip — это поле B1 внутри плазмы. Полоидальная кривиз-
на равна г/а, а тороидальная равна нулю, так что (8.2.7) сво* дптся к
(8.2 Л 0)
Вклад внешней вакуумной области в oW дается выражением (6.4.2), Определим теперь ? как отношение давления плазмы к плотности энергии внешнего магнитного поля:
2^p
В2 - »2
1 -
внутр
Я2 В2
(8.2.11)
(8.2.12)
' z внешн 1 ПОЛ
Использовав соотношение равновесия
2[X^? =>Впол высшн внутр і
а также определение па поверхности плазмы значения q, соответствующего одной длине волны
можно бW написать в виде
(m-qy l+(?/rcr)a
(8.2.13)
aw
Etf ^лол ^ — 1 ~f"
граница
m 1 — (a/rcry вакуум
+
m
f[l +(kalqf\\
плазма
Для длинных воли ka<^[, если стенка удалена от о/Лт<С1, плазма неустойчива, если
$>\-[т-(т-д?\1ЯК
Огибающая неустойчивой области начинается со значения ?—1 при низком ?f но быстро поднимается до высоких ? при увеличении q<> как это показано на рис. 8.2. Для любого ц, большего единицы, существует критическое f>, соответствующее появлению неустойчивости. Отмстим, что значение ? может меняться независимо от q за счет скачка в B1.
Рис. 8.2. Диаграмма устойчипости ? or ц для модели поверхностного тока в цилиндрическом плазменном шн>ре круїлоіО сечения. Плазма неустойчива в области выше каждой кривой по отношению к моде с укачанным на кривой по-лоидальньш волнопым числом Из работы [7]
(8.2.14)
плазмы
(8.2.15)
125
Вопрос 8.2.2. Легко ли стабилизировать такие неустойки ости при большом ? за счет приближения стенки или за счет эффекта конечной длины волны [Aa-O(I)I?
Если сечение плазмы превращать в эллиптическое, то эти неустойчивости, связанные с давлением, становятся более опасными. Поскольку в геометрии прямого цилиндра полоидальное магнитное поле на поверхности остается однородным, кривизна на заострениях эллипса увеличивается пропорционально bia- и уменьшается как а/Ь2 на боках эллипса. При вытягивании плазмы увеличенная кривизна на закруглениях приводит к неустойчивостям при все более низких ?, как это показано на рис. 8.3. Мардер [7]. численно рассчитал структуру возмущения на поверхности плазмы и стабилизирующие слагаемые магнитной энергии. Аналитически, их вычислить тяжело. Однако из природы дестабилизирующих, членов ясно, что неустойчивость приводит к выпиранию плазмы на закруглениях эллипса, оставляя более плоскую часть в основ-ном незатронутой. Кроме того, ясно, что положение можно несколько улучшить, уменьшая кривизну закруглений. Например,, Мардер, рассмотрев геометрию рейстрска—два прямых отрезка, соединенных полуокружностями,—нашел некоторое увеличение критического ?, При любом заданном значении q, однако, полоидальное магнитное поле увеличивается при вытягивании сечения, но даже при оптимальной кривизне дестабилизирующий член становится больше, чем внутренний стабилизирующий. Поэтому в прямом цилиндре вытянутость дает только скромное увеличение-критического ?.
