МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
В1 (x1 0 - V X (S X B0) -р- Bi (х, 0); (5.2.2)
P1 (х, 0 - - ? ¦ VP0 - Г>° V • 5 -г P1 (х, 0), (5.2.3)
Константы интегрирования в (5,2.2) и (5.2.3) можно опустить, если возмущения представляют собой динамический процесс, развившийся из равновесного состояния. Это предположение всегда используется в литературе, В динамике оно соответствует движению шарика с некоторой начальной скоростью от вершины холма, а не по траектории, которая проходит мимо вершины. Для линеаризованных МГД-уравнений это предположение соответствует следующим начальным условиям:
S(x1o)=--0; ¦^-j(x1 0)^0;
В1 (x1 О) — 0 ; /?1 (х, 0) = 0.
Теперь возмущения магнитного поля и давления определяются равенствами:
В1(Х, 0 -VX(S X Во); (5.2.5)
0- -S-VP0- VvS. (5.2.6)
Линеаризованные уравнения можно объединить в одно уравнение второго порядка в частных производных для вектора смещения
P0^f = f «1 - V (S-VP0 і- гр°v-S> + J(V X во)х [VX(Sx в°)! +
-, —(V Х[7Х(|ХВ°)1)ХВЧ. (5.2.7)
(5.2.4)
74
Нашу систему можно считать изолированной, если на граничной равновесной магнитной поверхности плазмы справедливо граничное условие
Sx 0, (5.2.8)
либо если вакуумная область окружена идеально проводящим кожухом. Линейный анализ устойчивости, как правило, основывается на уравнении (5.2,7),
Вопрос 5.2.1. Исходная система линейных МГД-уравиений (5,1.1)-(5.1.3) — это система уравнений седьмого порядка дли переменных v1, В1 и р1. Уравнение (5.2.7) дли s представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных шестого порядка. Куда исчез седьмой порядок?
§ 5.3. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП
Энергетический принцип можно вывести почти так же, как были получены вариационные формы в главе, посвященной неустойчивости Рэлся — Тейлора. Умножим уравнение движения (5,2.7)
на производную по времени от вектора смещения | и проинтегрируем по объему плазмы с учетом граничных условий (5.2.8):
$fl?3 л ?* І g ¦= -^-[ d*x4r рІ2 = \d*xi F {?. (5.3.1)
Говорят, что система уравнений самосопряженная, если, интегрируя по частям, можно показать справедливость равенства
й?3 XTi. F {fl d*xi - F (ч) (5.3.2)
для любых ^uI, которые удовлетворяют граничным условиям. Интегрирование по частям оказывается достаточно громоздким, подробно они было выполнено в работах Б, Б, Кадомцева [3], Кул-сруда [4] и др. При условии самосопряженности из (5.3.1) следу-ет, что полная энергия возмущений не меняется во времени:
4[5^4-'j0S2'-4S a*xt-F{»]-0. (5.3.3)
кинетическая потенциальная энергия Б литературе для потенциальной энергии принято обозначение
W^ - -і- jjtf3х%.F {$}. (5.3.4)
Из условия постоянства энергии возмущений следует, что любое возмущение, которое дает уменьшение потенциальной энергии (&W отрицательно), приводит к возрастанию Кинетической энергии, что свидетельствует о неустойчивости системы в линейном приближении. Это означает, что начальное возмущение скорости нарастает. Совсем не обязательно, чтобы такое возмущение обладало бы самой большой скоростью нарастания или было бы собственной функцией уравнений, или тем состоянием, к которому,
75
вероятно, придет система в процессе эволюции. Подойдет люба яг пробная функция, лишь бы она удовлетворяла граничным условиям и была бы интегрируема. Это является одним из преимуществ использования (5.3.4) для исследования устойчивости.
И напротив, если любое возмущение приводит к увеличению потенциальной энергии (oW положительно), то система линейно-устойчива по отношению к экспоненциально нарастающим модам. Строгое доказательство этого утверждения содержится в работах [5, 6].
Используя принцип наименьшего действия, из энергетического* принципа можно вывести линейные уравнения движения (5.2.7):
S jj -=8 Jj [к. э. -SW(g, |)|, (5.3.5)
где вариация б| (х, г) произвольна, за исключением концов ин^ тервала интегрирования по времени. Таким образом, уравнения движения—это уравнение Эйлера — Лагранжа для энергетического принципа.
Вопрос 5.3,1. Можете ли Вы получить закон сохранения энергии (5.3,3) + соответствующий линеаризованным уравнениям, из закона сохранения энергии для нелинейных MГД-уравнении
в - S (-г р"' -1-г=т + sa: *•)¦ (3-3-6)'
который, для используемых здесь граничных условий янлнется интегральным представлением (2.5.4)? Как бьпь с возмущениями второго порядка для давления а .магнитного поля?
Поскольку линеаризованные уравнения движения (5.2.7) имеют постоянные по времени коэффициенты, их можно записать в виде уравнений для задачи на собственные значения, так же как это было сделано в гл. 3:
j(x,f)-Re{j(x)exp(TOb (5*3.7)
T2P0sw- F(I(X)}, (5.3.8)
в которых собственные значения у и собственные функции |(х) могут быть комплексными. (В литературе вместо у часто используется т.) Из условия самосопряженности действительного оператора F непосредственно следует, что ул должна быть действительной величиной:
- l&xi * F{g*}^(TT Jj^3XpOg g*.
Откуда у" = (у2) *•
Это означает, что у либо действительная величина, что соответствует экспоненциальному нарастанию или затуханию, либо чиста мнимая, что соответствует колебаниям. В идеальной МГД-модели
