МГД-Неустойчивости - Бейтман Г.
Скачать (прямая ссылка):
76
нет собственных функций, которые соответствуют нарастающим или затухающим колебаниям. Однако можно подобрать такое сочетание собственных функций, которое па конечном интервале времени будет давать нарастающие или затухающие колебания, точно так же, как можно подобрать собственные функции кинетического уравнения Власова (волны Ксйза — Ван Кампена) для того, чтобы продемонстрировать затухание Ландау.
Вопрос 5Л.2, Собственные функции, соответствующие неустойчивости в линейном приближении, имеют вид (v\ В1, P1j(x1 /)=s (v[, В1, P1HxJeSp(YO- Каки\т образом с помощью таких собстпепных функций можно описать движение, которое проходило через равновесие (v1^O, В1 = 0, р1 = 0) при / —0?
Вопрос 5,3.3, Покажите, что для произвольного равнопесия, движение со скоростью vi = a(p(i)B0-f-? (;>) не меняет ни магнитного поля, ни давлення и, следовательно, не создает никаких дополнительны* сил Означает ли это, что любое равновесие по крайней мерс нейтрально усгойчитю? Олисьшает лн это возмущение такое движение, которое проходило че-pcj равновесие?
§ 5.4. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПРИНЦИПА
Существует много различных способов преобразования выражения для потенциальной энергии 0"W^(I, §): это интегрирование по частям, разбиение различных членов на части, добавление членов, интеграл от которых для заданных граничных условий равен нулю и т. д. Например, очень важной является симметричная форма записи энергетического принципа, в которой % содержится только внутри множителей, представляющих собой полный квадрат. Вывод такой симметричной формы указывает на ,самосопряженную природу оператора сил (5.2.7).
Рассматривая различные формы записи энергетического принципа, можно увидеть, какие эффекты приводят к развитию неустой-чивостей (отрицательные члены в бW) t а какие стремятся стабилизировать неустойчивость (положительные члены в 6W). Здесь мы рассмотрим несколько различных способов записи энергетического принципа.
Из (5.2,7) и (5,3,4) следует основное выражение для потенциальной энергии в плазме
где j= VX В; у x(IX?o) п г = 5/3.
Члены с р1 и j1XB0 можно проинтегрировать по частям по объему плазмы. Это дает
bWr - -тіa*х HrI ?ll2H- J0"S X -f j>o j v.gp .|_
плюс поверхностный член
IW -bWP=4~ \ -! Bo-B1). (5.4.3)
77
Если плазма доходит до жесткой стенки, где ^S- %—0> то поверхностный член обращается в пуль. Если же плазма окружена вакуумной областью, то поверхностный член внутри вакуумной области можно проинтегрировать по частям для того, чтобы получить развернутую форму записи энергетического принципа:
IW - IWF + 6WS,K H- ZWe, (5.4.4)
где &WF — потенциальная энергия возмущений жидкости, которая определяется формулой (5.4.2);
вак-4- \ ^8JC-J-IB1P (5.4.5)
ВАК
возмущение энергии магнитного поля в вакуумной области, и
Ш* - ~Т S dS [[v [р9 + V (в°)г ]]] (и¦I)» (5-4-6>
поверхностный интеграл, который не равен нулю только для равновесия с поверхностным током. ДА]] означает скачок величины А на поверхности плазмы. Такое обобщение энергетического принципа с учетом вакуумной области было сделано Бернштейном, Фриманом, Крускалом и Кулсрудом [1]. Более подробный вывод приведен в книге Шмидта [7],
Дальнейшее преобразование и интегрирование по частям выражения (5.4,2) для потенциальной энергии возмущений в плазме: дает симметричную форму, впервые полученную в fl]:
bWF - -і-J ^{-^l?l +^n-J-Jo X ill* +
пл
-ЫУ I V-Sl' —2J0 X n-(B°'V n) (n-S)2], (5.4.7)
где n = —yp°/,| yp°|—единичный вектор нормали к равновесной-магнитной поверхности. Б. Б. Кадомцев [3] и Кулер уд [4] привели подробный вывод этого выражения. В (5.4.7) отрицательным и, следовательно, дестабилизирующим может быть лишь третий член. Лили [8] записал этот член в виде суммы нормальной кривизны k
и кручения т =—В-у (Вхк/А) силовой линии равновесного маг-титного поля:
JOX П'уп-уВ° = | у/* / (к-г т et O)t (5.4.8).
где 8 — угол между J0 и B0.
По-видимому, наиболее наглядной является следующая форма записи интеграла для потенциальной энергии:
w, = 4" S d*x {~ I Bl I2 + f 17- в1, - в» і¦ °/| в° I21'-
пл
альфвеновские быстрые шпштозвуковые
78
-1-Г/* I v.g|*-|. ??- B0Xg-B1 -25•VP0- B-kj. (5.4.9)
звуковые винтовые желобковые
Подобная форма записи впервые была получена Фюртом, Кил-лином, Розенблютом и Коппи [9], а также Грином и Джонсоном [10], Каждый член в (5.4.9J имеет свой физический смысл. Так, первое слагаемое в подынтегральном выражении—-это энергия магнитного поля альфвеновских волн (иногда их называют альфвеновскими волнами с широм). Второе слагаемое, которое можно переписать в виде
1 С d»x (В°>;
,.^ШЕіМ-, (5.410)
ия
—-это потенциальная энергия быстрых мапштозвуковых волн (нли быстрых альфвеновских волн). Член Гр°| у-§ \2 представляет собой потенциальную энергию, связанную с обычными звуковыми волнами. Следующее слагаемое, в том случае, когда оно отрицательно, приводит к так называемой винтовой (или токовой) неустойчивости. Последний член может приводить к перестановочной или баллонной неустойчивостям, которые соответствуют неустойчивости Рэлея—Тейлора, раскачиваемой градиентом давления и кривизной магнитного поля. Следующие три главы будут посвящены детальному изучению этих неустойчивостей.
